מודל חצי המישור של פואנקרה

ערך ללא מקורות
בערך זה אין מקורות ביבליוגרפיים כלל, לא ברור על מה מסתמך הכתוב וייתכן שמדובר במחקר מקורי.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה. (27 בספטמבר 2024)
ערך ללא מקורות
בערך זה אין מקורות ביבליוגרפיים כלל, לא ברור על מה מסתמך הכתוב וייתכן שמדובר במחקר מקורי.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה. (27 בספטמבר 2024)
קרניים מקבילות במודל חצי המישור של פואנקרה.

בגאומטריה לא אוקלידית, מודל חצי המישור של פואנקרה הוא חצי המישור העליון, המסומן בדרך כלל , יחד עם המטריקה שמאפיינת אותו, והופכת אותו למודל של גאומטריה היפרבולית דו-ממדית. באופן שקול, מודל חצי המישור העליון של פואנקרה מתואר לעיתים כמישור מרוכב שבו החלק המדומה הוא חיובי.

מודל חצי המישור של פואנקרה נקרא על שם אנרי פואנקרה, אבל המקור שלו הוא בעבודותיו של אאוג'ניו בלטרמי אשר נעזר בו, יחד עם מודל קליין ומודל הדיסק של פואנקרה, כדי להוכיח שהגאומטריה ההיפרבולית היא עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית היא עקבית.

מודל זה הוא קונפורמי, מה שאומר שזוויות בין עקומות כפי שהן נמדדות בנקודת החיתוך שלהן הן בדיוק אותן הזוויות כמו במישור ההיפרבולי האמיתי.

טרנספורם קיילי מספק איזומטריה בין מודל חצי המישור העליון ומודל הדיסק של פואנקרה.

מטריקה

קווים ישרים

המטריקה של המודל על חצי המישור העליון, , היא:

כאשר s מודד את המרחק לאורך הקו (שעשוי להיות עקום). "הקווים הישרים" במישור ההיפרבולי (גאודזות עבור המטריקה הזאת, כלומר עקומים שממזערים את המרחק בין שתי נקודות) מיוצגים במודל זה באמצעות קשתות מעגליות שפוגשות את ציר ה-x בזוויות ישרות (חצי מעגלים שמרכזיהם נחים על ציר ה-x) בתוספת הקרניים הישרות המאונכות לציר ה-x.

ישנן כמה דרכים שקולות להיווכח בכך שהקו הישר שמחבר בין שתי נקודות A ו-B בחצי המישור העליון הוא תמיד חצי מעגל שאורתוגונלי לציר ה-x: דרך אחת, שעושה שימוש בחשבון הווריאציות, היא פשוט לרשום את פונקציונל האורך של מסילות שמתחילות ב-A ונגמרות ב-B בהתאם למטריקה הנתונה, ואז למצוא את המסלול שממזער את האורך לפי משוואות אוילר-לגראנז'.

דרך שנייה, וברורה יותר קונספטואלית, היא לחשוב על "ישר" של חצי המישור העליון בתור התמונה של נקודה שנעה במהירות קבועה ובכיוון קבוע במישור ההיפרבולי "האמיתי" (לא במודל שמייצג אותו). מכיוון שנקודה נעה כזאת גומעת מרחקים שווים בזמנים שווים, הייצוג של הנקודה במודל חצי המישור העליון (תמונת הנקודה) צריך גם הוא לגמוע מרחקים שווים בזמנים שווים. מכיוון שהמרחקים במודל יחסיים הפוך לקואורדינטה האנכית y, תמונת הנקודה נעה בקצב שיחסי לקואורדינטה האנכית שלה, כך שניתן לחלק את חצי המישור בכללותו לפרוסות שוות-מהירות המקבילות לציר ה-x. המעבר הגיאודזי בין נקודה A לנקודה B מתקבל אז בקלות מעקרון הזמן המינימלי – ניתן לדמות את חצי המישור העליון לתווך אופטי שבו מקדם השבירה יחסי הפוך לקואורדינטה y, ואז שימוש ישיר בחוק סנל מאפשר למצוא את צורת מסלולה של קרן אור. חישוב פשוט מראה שאם היא הזווית בין כיוון ההתקדמות המקומי של הקרן לאנך, אז , וקבוע זה הוא למעשה רדיוס העקמומיות של קשת המעגל. מכיוון ש- כאשר , קשת מעגל זו תמיד חותכת את ציר ה-x – המייצג את "הנקודות באינסוף" – בזוויות ישרות.

חישוב מרחק

אם שתי נקודות ו- נחות על ישר היפרבולי (חצי מעגל אוקלידי) אשר חותך את ציר ה-x בנקודות האידיאליות ו-, המרחק בין ל- הוא:

כלומר זהו הערך המוחלט של הלוגריתם הטבעי של היחס הכפול של רביעיית הנקודות .

מספר מקרים פרטיים פשוטים של נוסחת מרחק זו ראויים לציון. עבור שתי נקודות עם אותה קואורדינטת x המרחק הוא:

ועבור שתי נקודות עם אותה קואורדינטת y המרחק מקיים:

נקודות ועקומות מיוחדות

  • נקודות אידיאליות (נקודות באינסוף) במודל חצי המישור של פואנקרה הן משני סוגים:
  • הנקודות על ציר ה-x, ו-:
  • נקודה דמיונית אחת ב- שהיא הנקודה האידיאלית אליה כל הקווים הניצבים לציר ה-x מתכנסים.
  • קווים ישרים, או גאודזות (הנתיבים הקצרים ביותר בין הנקודות שנחות עליהם) מיוצגים על ידי:
  • חצי מעגלים שמרכזם נח על ציר ה-x
  • קווים ישרים אנכיים הניצבים לציר ה-x.
  • מעגל (עקומה בעל מרחק קבוע מנקודה נתונה) בעל מרכז ורדיוס ייוצג על ידי:
מעגל עם מרכז ורדיוס .
  • היפר-מעגל (עקום שווה מרחק מישר נתון, שהוא הציר שלו) מיוצג על ידי:
  • קשת מעגל שחותכת את ציר ה-x באותן שתי נקודות אידיאליות כמו חצי המעגל שמייצג את הציר שלו אך בזווית חדה או קהה.
  • קו ישר שחותך את ציר ה-x באותה נקודה כמו הקו הישר האנכי שמייצג את הציר שלו, אך בזווית חדה או קהה.
  • מעגל גבולי (עקום אשר כל הקווים הנורמליים לו מתכנסים אסימפטוטית באותו כיוון) מיוצג על ידי:
  • מעגל המשיק לציר ה-x (אך ללא הנקודה האידיאלית של ההשקה, המייצגת את הנקודה האידיאלית אליה מתכנסים כל הקווים הנורמליים)
  • ישר המקביל לציר ה-x, ובמקרה זה מרכז המעגל הגבולי הוא הנקודה האידיאלית ב-.

היחס למודל הדיסק של פואנקרה

טרנספורם קיילי של חצי המישור העליון לדיסק היחידה. כמוראה באיור, הטרנספורם מעתיק קווים המקבילים לציר ה-x (כאמור לעיל, קווים אלו הם מעגלים גבוליים) למעגלים המשיקים למעגל היחידה, ואת ציר ה-x למעגל היחידה עצמו (מודגשים בצבע צהוב).

טרנספורם קיילי, שהוא סוג של העתקת מביוס, מהווה איזומטריה בין מודל חצי המישור העליון למודל הדיסק של פואנקרה. טרנספורם זה מעתיק את הישר הממשי של חצי המישור העליון (שהוא השפה של מודל חצי המישור) למעגל היחידה (שהוא השפה של מודל הדיסק). מכיוון שהעתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים, והיא קונפורמית, הקווים הישרים במודל חצי המישור העליון, אשר הם קשתות מעגל החותכות את הישר הממשי בזוויות ישרות, יועתקו תחת טרנספורם קיילי לקשתות מעגליות החותכות את השפה של מודל הדיסק בזוויות ישרות, בתוספת כל הקטרים של דיסק היחידה. כלומר נקודת המבט של טרנספורם קיילי מספקת מסגרת להבנת קווי הדמיון בין שני המודלים.

ראו גם

מקורות

  • Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constante,Annali di Matematica Pura ed Applicata, ser II 2 (1868), 232–255
  • Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1, p. 1. מאמר ראשון בסדרת מאמרים על מודל חצי המישור. עותק מאורכב נגיש באופן חופשי. בעמוד 52 ניתן למצוא תרשים של קשת חצי מעגלית (המייצגת ישר) האופייני למודל.

קישורים חיצוניים

Read other articles:

Lianzhou 连州市Kota setingkat countyLianzhou di QingyuanKoordinat: 24°46′52″N 112°22′37″E / 24.781°N 112.377°E / 24.781; 112.377Koordinat: 24°46′52″N 112°22′37″E / 24.781°N 112.377°E / 24.781; 112.377NegaraRepublik Rakyat TiongkokProvinsiGuangdongKota setingkat prefekturQingyuanDaerah administrasi kota praja12Luas • Total2.663,33 km2 (102,832 sq mi)Populasi (Sensus 2010) • To...

 

HP-21S redirects here. For another similarly named calculator, see HP-21. HP-20SThe HP-20STypeProgrammable scientificManufacturerHewlett-PackardIntroduced1989Discontinued2000Cost$50CalculatorEntry modeInfixPrecision12 display digits (15 digits internally), exponent ±499Display typeLCD seven-segment displayDisplay size1 lineCPUProcessorSaturn (Bert)Frequency640 kHzProgrammingProgramming language(s)key strokeFirmware memory10 KB of ROMProgram steps99OtherPower supply3×1.5V button cell batter...

 

Классическая механикаИстория… Фундаментальные понятия Пространство Время Масса Скорость Сила Механическая работа Энергия Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Уравнения Рауса Уравнения ...

Aqueduc de ClausonnesAqueduc de la Bouillide Vestiges du pont-aqueduc de Goa. Localisation Pays France Lieu Valbonne, Vallauris, AntibesAlpes-Maritimes Type Aqueduc Protection  Inscrit MH (1936) Coordonnées 43° 36′ 19″ nord, 7° 04′ 04″ est Géolocalisation sur la carte : Alpes-Maritimes Aqueduc de ClausonnesAqueduc de la BouillideAqueduc de ClausonnesAqueduc de la Bouillide Géolocalisation sur la carte : Provence-Alpes-Côte d'Azur Aqu...

 

Book by Gary Krist For the video game, see Empire of Sin (video game). Empire of Sin: A Story of Sex, Jazz, Murder, and the Battle for Modern New Orleans First editionAuthorGary KristCountryUSALanguageEnglishSubjectHistoryGenreNon-fictionPublished2014PublisherCrown Publishing GroupPages432ISBN0770437060 Empire of Sin: A Story of Sex, Jazz, Murder, and the Battle for Modern New Orleans is a 2014 non-fiction book by American author Gary Krist. The book is focused on the early 20th century in Ne...

 

Questa voce o sezione sull'argomento governi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Governo Crispi I Stato Italia Presidente del ConsiglioFrancesco Crispi(Sinistra storica) CoalizioneSinistra storica Appoggio esterno: Estrema radicale LegislaturaXVI Giuramento29 luglio 1887 Dimissioni28 febbraio 1889 Governo successivoCrispi II9 marzo 1889 ...

This article is about the actor. For other uses, see Prashanth (disambiguation). Indian actor PrashanthPrashanth at the audio launch of SaagasamBornPrashanth ThiagarajanChennai, Tamil Nadu, IndiaOccupationsActorbusinessmanYears active1990–presentSpouse Grahalakshmi ​ ​(m. 2005; div. 2009)​RelativesThiagarajan (father) Peketi Sivaram (grandfather)[1]Vikram (cousin)Jayanthi (grandmother) Prashanth Thiagarajan, known professionally a...

 

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

 

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)(47—48歲) † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章(追贈)军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年-1958年军衔 二級上將 (追晉)部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

2002 General Elections in Kenya 2002 Kenyan general election ← 1997 27 December 2002 (2002-12-27) 2007 → Presidential electionTurnout57.18%   Nominee Mwai Kibaki Uhuru Kenyatta Simeon Nyachae Party NARC KANU FORD–People Popular vote 3,646,277 1,835,890 345,152 Percentage 62.20% 31.32% 5.89% Results by province Kibaki   60-70%  70-80% Kenyatta   50-60%   60-70% President before election Daniel arap M...

 

U.S. federal statutes on the Coast Guard This article is part of a series on theUnited States Code United States Code Title 1 - General Provisions Title 2 - The Congress Title 3 - The President Title 4 - Flag and Seal, Seat of Government, and the States Title 5 - Government Organization and Employees Title 6 - Domestic Security Title 7 - Agriculture Title 8 - Aliens and Nationality Title 9 - Arbitration Title 10 - Armed Forces Title 11 - Bankruptcy Title 12 - Banks and Banking Title 13 - Cens...

 

Disambiguazione – Se stai cercando l'ingegnere americano, amministratore della NASA, vedi Thomas O. Paine. (EN) «My country is the world… and my religion is to do good.» (IT) «La mia nazione è il mondo… e la mia religione è fare il bene.» (T. Paine) Ritratto di Thomas Paine di Laurent Dabos Thomas Paine (Thetford, 29 gennaio 1737 – New York, 8 giugno 1809) è stato un rivoluzionario, politico, intellettuale, filosofo illuminista e studioso britannico, considerato uno dei Padri ...

Ruler of Morocco (1927–1953; 1955–1961) For those of a similar name, see Mohamed V (disambiguation). Mohammed VMohammed bin Yusefمحمد الخامسAmir al-Mu'mininKing of MoroccoReign14 August 1957 – 26 February 1961SuccessorHassan IIPrime Ministers See list Mbarek BekkayAhmed BalafrejAbdallah Ibrahim Sultan of MoroccoReign30 October 1955 – 14 August 1957PredecessorMohammed bin 'ArafaReign17 November 1927 – 20 August 1953PredecessorYusef bin HassanSuccessorMohammed bin 'ArafaBorn...

 

Sceaux 行政国 フランス地域圏 (Région) イル=ド=フランス地域圏県 (département) オー=ド=セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長(任期) フィリップ・ローラン(2008年-2014年)自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人(2007年)人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標 北緯48度4...

 

Arab historiographer and historian (1332–1406) For the horse, see Ibn Khaldun (horse). Ibn KhaldunBust of Ibn Khaldun in the entrance of the Kasbah of Bejaia, AlgeriaPersonalBorn27 May 1332Tunis, Hafsid SultanateDied17 March 1406 (1406-03-18) (aged 73)Cairo, Mamluk SultanateReligionIslamDenominationSunni[1]JurisprudenceMaliki[2]CreedAsh'ari[3][4]Main interest(s)Historiographysociologyeconomicsdemographypolitical scienceNotable idea(s) Asabiyyah Conq...

Battle in 1826 between Ottoman Empire and Greek rebels Battle of ArachovaPart of the Greek War of IndependenceThe Battle of Arachova by Peter von HessDate18–24 November 1826 (N.S.)LocationArachova, Sanjak of Eğriboz, Ottoman Empire (now Boeotia, Greece)Result Greek victoryBelligerents First Hellenic Republic Ottoman EmpireCommanders and leaders Georgios Karaiskakis Nikitas Stamatelopoulos[1] Mustafa Bey † Kehaya † Abdullah AghaStrength 950 2,000Casualties and ...

 

Questa pagina è un archivio di passate discussioni. Per favore non modificare il testo in questa pagina. Se desideri avviare una nuova discussione o riprenderne una precedente già archiviata, è necessario farlo nella pagina di discussione corrente. Archivio3 Archivio5 Indice 1 Re: Stagioni Napoli C5 2 pasqua 3 Monitoraggio bandierine 4 Tony Mc Kenzie 5 Italia femminile C5 - Novità? 6 Benvenuto 7 Utente:Maxim1884 8 La tua pagina utente 9 Pagina Maximilian Nisi 10 Band. Perugia 11 Re:Stemm...

 

Relations entre les commandes de vol et la rotation autour du centre de gravité de l’appareilA): aileron, B): manche, C): gouvernail de profondeur, D) gouvernail de direction Le pilotage d’un avion consiste à commander sa trajectoire pour suivre les cap, altitude et vitesse désirés tout en s'assurant de rester à l'intérieur du domaine de vol pour des raisons de sécurité. Le pilote de l'avion dispose, dans le cockpit, de différentes commandes qui sont généralement : un manc...

This article is about the neighborhood. For its namesake, the Ottoman prince, see Şehzade Cihangir. For other uses, see Cihangir (disambiguation). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (December 2017) (Learn how and when to remove this message) Neighbourhood in Beyoğlu, Istanbul, TurkeyCihangirNeighbourhoodCihangirLocation in TurkeyShow map of Turk...

 

This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (January 2022) Motor vehicle Daihatsu Zebra2005 Daihatsu Zebra ZL9 (S91, Indonesia)OverviewManufacturerDaihatsuProductionAugust 1986 – October 2007Body and chassisClassLight commercial vehicleBody style2-door pickup4 or 5-door vanLayoutFront mid-engine, rear-wheel-driveRelatedDaihatsu HijetChro...