קנבסקי החל את הקריירה שלו בקבוצת החובבים של מפעל "ארסנל" בקייב. בגיל 18 זומן לסגל קבוצת דינמו קייב, ושיחק בה במשך כמעט כל הקריירה. בהתחלה שיחק בקבוצת המילואים של דינמו, ובשנת 1957 תפס מקום קבוע בהרכב הקבוצה. בשנת 1960 נבחר להיות הקפטן של הקבוצה ושימש בתפקיד זה עד לשנת 1964. קנבסקי היה אחד החלוצים המוצלחים ביותר בהיסטוריה של דינמו קייב - לזכותו 80 שערי ליגה. בשנת 1961 זכה קנבסקי עם דינמו באליפות ברית המועצות ובשנת 1964 בגביע ברית המועצות. בשנת 1965 עזב קנבסקי את דינמו קייב ועבר לצ'רנומורץ אודסה. הסיבה העיקרית לעזיבת דינמו הייתה גילו של קנבסקי - המאמן המעיט לשתף אותו במשחקים ונתן את מקומו בהרכב לשחקנים צעירים יותר. קנבסקי שיחק בצ'רנומורץ עונה אחת בלבד ולאחריה פרש ממשחק פעיל
קנבסקי זומן לנבחרת ברית המועצות בשנת 1958. הוא שולב במשחקים מעטים. קנבסקי היה בסגל הנבחרת למונדיאל 1962 ולקח חלק בשניים מתוך 4 משחקי הנבחרת בטורניר. לאחר המונדיאל - לא זומן יותר לנבחרת.
קריירת אימון
לאחר שפרש ממשחק פעיל הפך קנבסקי למאמן. הקבוצה הראשונה, אותה אימן הייתה מטאליסט חרקוב. הוא אימן אותה במשך 4 עונות והצליח להעלות את הקבוצה מהליגה השנייה אל הליגה הראשונה. לאחר מכן אימן את קבוצת "בוקובינה" מהעיר צ'רנוביץ. בשנת 1972 הצטרף לצוות המאמנים של קבוצת פחטקור טשקנט. לאחר עונה אחת בטשקנט חזר לאוקראינה ומונה למאמן קבוצת דניפרו שעלתה אז לליגה הסובייטית הבכירה. בהמשך היה מאמן של קבוצת טאבריה סימפרופול, אותה הצליח להעלות מהליגה השנייה לליגה הראשונה.
התקרית האנטישמית וסוף הקריירה
בשנת 1979 היה קנבסקי מועמד מוביל לאימון של נבחרת אלג'יריה. מועמדתו אושרה, אך כמה ימים לפני הטיסה לאלג'יר קיבל קנבסקי הודעה כי הנסיעה שלו מבוטלת והתפקיד הועבר למאמן אחר. לאחר כמה בירורים הבין קנבסקי שמועמדתו נפסלה על ידי ההתאחדות הסובייטית בשל יהדותו. קנבסקי סבל גם בעבר מהיחס הלא ממש אוהד של ההתאחדות ליהדותו. כך למשל, כדי לקבל את תעודת המאמן הוא הוכרח להחליף את שם האב היהודי בתעודת הזהות שלו מיזראילבץ' (בן ישראל) לאיליץ' (בן איליה), כלומר לשם שלא מבליט את יהדותו. הפעם החליט קנבסקי לא לוותר לשלטונות - כסוג של מחאה הוא הגיש בקשה להגר מברית המועצות. בקשתו נדחתה על ידי משרד הפנים. אך עצם הגשת הבקשה הפך אותו לאיש לא רצוי בקבוצות הליגה. הוא לא יכל לאמן יותר באף קבוצה, כל חבריו בעולם הכדורגל ניתקו את קשריהם איתו. שמו נמחק מההיסטוריה הרשמית של דינמו קייב. הוא אפילו נמחק מתמונת האליפות של הקבוצה משנת 1961. בכל התקופה הזאת היחיד שנשאר איתו בקשר ועזר לו היה ולרי לובנובסקי. קנבסקי עבד כפועל בניין למחייתו. בשנת 1983, בעזרתו של לובנובסקי, הצליח קנבסקי לחזור לאמן לתקופה קצרה - הוא אימן קבוצת חובבים.
בשנת 1988 הגיש קנבסקי שוב בקשה להגירה. הפעם, הודות לפרסטרויקה בברית המועצות בקשתו אושרה. הוא היגר לארצות הברית עם משפחתו. בארצות הברית עסק קנבסקי באימון קבוצות ילדים ונוער שהוקמו על ידי יוצאי ברית המועצות.
ויקטור קנבסקי נפטר ב-25 בנובמבר 2018 בעיר בריסטול שבמדינת קונטיקט.
