בעיית פניאנו

משולש העקבים: , משולשים חסומים: . מתקיים:.

בגאומטריה, בעיית פניאנו היא בעיית אופטימיזציה שהוצעה ונפתרה לראשונה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני פניאנו ב-1775:

בעבור משולש חד-זווית נתון יש לבנות את המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי.

הפתרון הוא משולש העקבים (Orthic triangle), שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש הנתון.

פתרון

למשולש העקבים, שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש חד-הזווית הנתון, יש ההיקף הקטן ביותר מבין כל המשולשים החסומים במשולש הנתון, ולפיכך זהו פתרון לבעיית פניאנו. ההוכחה המקורית של פניאנו עשתה שימוש בשיטות של קלקולוס ובלמת ביניים שניתנה על ידי אביו ג'וליו פניאנו. מאוחר יותר הוכחות גאומטריות אחרות נתגלו, בין היתר על ידי הרמן שוורץ וליפוט פייר. הוכחות אלו עשו שימוש בתכונות הגאומטריות של שיקופים כדי לקבוע מסלול בעל אורך מינימלי.

עקרונות פיזיקליים

משולש abc הוא משולש העקבים של המשולש ABC.

ניתן לתת פתרון פיזיקלי למחצה לבעיה באמצעות דימוי של מסגרת המשולש החסום לגומיה מתוחה, ושל הקודקודים כמעין חרוזים שיכולים להחליק בחופשיות על מסגרת המשולש החיצוני . מכיוון שהגומיה שואפת למזער את האנרגיה האלסטית שלה ולפיכך גם את אורכה הכולל, שלושת החרוזים יתייצבו במיקומים על היקף המשולש שמקיימים שהיקף המשולש החסום הוא מינימלי.

במצב שיווי משקל מכני כזה, שקול הכוחות הפועל על כל חרוז חייב להתאפס. כיוון שכך, בכל אחד מקודקודי המשולש החסום מתקיים שסכום שני הווקטורים המייצגים את מתיחות הגומיה לאורך שני הצלעות הנפגשות באותו קודקוד, חייב להיות מאונך לצלע המתאימה של המשולש החיצוני (שכן מסגרת המשולש יכולה להפעיל רק כוח נורמלי). מכיוון שמתיחות הגומיה אחידה לאורכה, שני הווקטורים הללו שווים בגודלם, ולפיכך האנכים לצלעות המשולש החיצוני שעוברים דרך קודקודי המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי הם בהכרח חוצי הזוויות של המשולש החסום. כלומר, מתקיים (הסימון בשורה הבאה מתייחס לאיור השני):

חוצי הזוויות הללו נפגשים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום של המשולש . לפי משפט ידוע אחד על משולש העקבים (שהוכחתו לא מובאת כאן) של משולש נתון, נקודת מפגש הגבהים של משולש מסוים היא גם מרכז המעגל החסום של משולש העקבים שלו.

לפיכך, כל אחד מהאנכים לצלעות המשולש העוברים דרך עובר גם דרך קודקוד של המשולש החיצוני, כלומר הם עקבי הגבהים של המשולש החיצוני, ו - הוא משולש העקבים של .

ראו גם

קישורים חיצוניים

Read other articles:

Первая четверть Восход Луны в этой фазе через 6 часов после восхода Солнца Заход Луны в этой фазе через 6 часов после захода Солнца Видимость 50%  Медиафайлы на Викискладе Цифрой 3 на схеме обозначена первая четверть. Пе́рвая че́тверть (лат. Luna crescens dimidiata) — фаза Луны,...

 

BiostratigraphieImage montrant un fossile nouvellement découvert (ammonite) introduit dans la séquence stratigraphique.Partie de Stratigraphie, paléontologiemodifier - modifier le code - modifier Wikidata La biostratigraphie est l'étude de la répartition des espèces fossiles dans les strates sédimentaires et donc dans les temps géologiques. Par des études paléontologiques, elle se donne pour objectif l'établissement d'une chronologie relative. La biostratigraphie intervient par ail...

 

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: List of Conservative Party MPs in London – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2022) The Conservative Party members of Parliament make up the second largest group of MPs in the capital. The Conservative Party currently holds 20 seat...

Teleskop Luar Angkasa HubbleTeleskop Hubble dilihat dari Pesawat Ulang Alik Atlantis ketika Misi Servis 4 (STS-125) tahun 2009, misi yang kelima dan terakhirJenis misiAstronomiOperatorNASA · ESA · STScICOSPAR ID1990-037BSATCAT no.20580Situs webnasa.gov/hubble hubblesite.org spacetelescope.orgDurasi misiBerlalu sejak: 33 tahun, 11 bulan, 6 hari Properti wahanaProdusenLockheed (wahana antariksa) Perkin-Elmer (optik)Massa luncur11.110 kg (24.490 ...

 

2007 family of multiprocessors by IBM This article's use of external links may not follow Wikipedia's policies or guidelines. Please improve this article by removing excessive or inappropriate external links, and converting useful links where appropriate into footnote references. (September 2017) (Learn how and when to remove this template message) POWER6Power6 CPUGeneral informationLaunched2007Designed byIBMPerformanceMax. CPU clock rate3.6 GHz to 5.0 GHzCacheL1 cache64+64 KB/coreL...

 

River in California, United StatesSusan RiverThe Susan River drainage is part of the endorheic Honey-Eagle lakes watershed of the Great Basin.LocationCountryUnited StatesStateCaliforniaRegionLassen CountyCitiesSusanville, Johnstonville, LitchfieldPhysical characteristicsSourceCaribou Lake • location11 miles west of Norvell in the Lassen National Forest, Sierra Nevada, California • coordinates40°30′10″N 121°09′51″W / 40.50278°N 12...

Pour les articles homonymes, voir Violet (homonymie). École d'ingénieurs généralistes - La RochelleHistoireFondation 1901StatutType École privée d'ingénieursForme juridique Association déclarée (d)Directeur Frédéric ThivetDevise Ma vie d'ingénieur commence iciMembre de CGE, CDEFI, CTI, IngéFrance, Concours Avenir, UGEI, « Elles Bougent »Site web www.eigsi.frChiffres-clésÉtudiants 1 241 (2019)[1], dont:1137 sous statut étudiant104 sous statut apprentiLocalisat...

 

Questa voce sull'argomento calciatori italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Mario Serra Zanetti Nazionalità  Italia Calcio Ruolo Centrocampista Carriera Squadre di club1 1923-1924 SPAL12 (5)1926-1927 Forti e Liberi? (?) 1 I due numeri indicano le presenze e le reti segnate, per le sole partite di campionato.Il simbolo → indica un trasferimento in prestito.   Mo...

 

محمد الراضي بالله محمد بن جعفر بن أحمد بن محمد بن جعفر بن محمد بن هارون بن محمد بن عبد الله بن محمد بن علي بن عبد الله بن العباس بن عبد المطلب دينار ضرب في عهد الراضي بالله في بغداد معلومات شخصية الميلاد 907 (297 هـ)بغداد الوفاة 940 (329 هـ) (32 سنة)المدينة المنورة  الكنية أبو العباس...

هذه المقالة عن المجموعة العرقية الأتراك وليس عن من يحملون جنسية الجمهورية التركية أتراكTürkler (بالتركية) التعداد الكليالتعداد 70~83 مليون نسمةمناطق الوجود المميزةالبلد  القائمة ... تركياألمانياسورياالعراقبلغارياالولايات المتحدةفرنساالمملكة المتحدةهولنداالنمساأسترالي�...

 

Community development block in West Bengal, IndiaKalna IICommunity development blockLocation in West BengalCoordinates: 23°13′00″N 88°22′00″E / 23.21667°N 88.36667°E / 23.21667; 88.36667Country IndiaStateWest BengalDistrictPurba BardhamanParliamentary constituencyBardhaman PurbaAssembly constituencyKalnaArea • Total66.48 sq mi (172.17 km2)Elevation39 ft (12 m)Population (2011) • Total167,335 �...

 

American television series For other uses, see Highway to Heaven (disambiguation). Highway to HeavenGenreFantasyFamily dramaCreated byMichael LandonDirected byMichael LandonVictor FrenchDan GordonWilliam F. ClaxtonStarringMichael LandonVictor FrenchComposerDavid RoseCountry of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons5No. of episodes111 (list of episodes)ProductionExecutive producerMichael LandonProducerKent McCrayCamera setupSingle-cameraRunning time48–49 minutesProduction ...

Aviation accident in Russia 2011 Garbuzovo Antonov An-148 crashAn Antonov An-148 similar to the accident aircraftAccidentDate5 March 2011 (2011-03-05)SummaryIn-flight structural failureSiteGarbuzovo, Alexeyevsky Region, Belgorod Oblast, Russia 50°28′23″N 38°44′35″E / 50.47306°N 38.74306°E / 50.47306; 38.74306AircraftAircraft typeAntonov An-148-100EOperatorAntonov/VASORegistration61708Flight originPridacha Airport, Voronezh, RussiaDestina...

 

Swiss footballer (born 1965) Dominique Herr Personal informationDate of birth (1965-10-25) 25 October 1965 (age 58)Place of birth Basel, SwitzerlandHeight 1.84 m (6 ft 1⁄2 in)Position(s) Defensive midfieldYouth careeruntil 1984 FC BaselSenior career*Years Team Apps (Gls)1984–1988 FC Basel 76 (2)1988–1992 Lausanne Sports 133 (9)1992–1996 FC Sion 111 (5)Total 320 (16)International career1989–1995 Switzerland 52 (4) *Club domestic league appearances and goals Do...

 

Inner city area of Leeds, West Yorkshire, England This article is about the area of Leeds. For the village in Nottinghamshire, see Holbeck, Nottinghamshire. For other uses, see Holbeck (disambiguation). Human settlement in EnglandHolbeckHolbeck Moor roadHolbeckShow map of LeedsHolbeckLocation within West YorkshireShow map of West YorkshirePopulation5,505 OS grid referenceSE311314Metropolitan boroughCity of LeedsMetropolitan countyWest YorkshireRegionYorkshire and the ...

Audi MarissaLahirRana Audi Marissa24 Mei 1995 (umur 29)Jakarta, IndonesiaKebangsaanIndonesiaPekerjaanPemeranpresentermodelTahun aktif2007—sekarangSuami/istriAnthony Xie ​(m. 2020)​Anak1Penghargaan SCTV Awards 2015 Inbox Awards 2015 Tanda tangan Rana Audi Marissa (lahir 24 Mei 1995) adalah pemeran, presenter, dan model Indonesia. Karier Audi memulai debutnya di dunia akting dengan berperan sebagai Puput di episode ketujuh belas dalam serial Roman Picis...

 

Decorative disk on an automobile wheel that covers at least a central portion of the wheel For other uses, see Hubcap (disambiguation). A threaded brass hubcap on a cart wheel with artillery style hub Various automobile hubcaps A hubcap or hub cap is a decorative disk on an automobile wheel that covers at minimum the central portion of the wheel, called the hub.[1] An automobile hubcap is used to cover the wheel hub and the wheel fasteners to reduce the accumulation of dirt and moistu...

 

Australian long and triple jumper Basil DickinsonPersonal informationBorn25 April 1915Queanbeyan, New South Wales, AustraliaDied7 October 2013 (aged 98)Queanbeyan, New South Wales, AustraliaSportSportAthleticsEvent(s)Triple jump, long jumpAchievements and titlesPersonal bestTJ – 15.64 m (1935)[1] Medal record Representing  Australia British Empire Games 1938 Sydney Long jump 1938 Sydney Triple jump John Basil Charles Dickinson (25 April 1915 – 7 October 2013)[2] was a...

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: ヘルマン・ヘッセ – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2012年1月) ヘルマン・ヘッセHermann Hesse ヘルマン・�...

 

Maestro greco-bizantino, Crocifisso, Museo Nazionale di San Matteo, Pisa, primo decennio XIII secolo, tavola sagomata Il cosiddetto Maestro bizantino del Crocifisso di Pisa è un anonimo artista operante a Pisa nella prima metà del XIII secolo. La sua opera eponima è il Crocifisso n. 20 su tavola lignea sagomata conservato nel Museo Nazionale di San Matteo di Pisa e risalente al primo decennio del XIII secolo. L'importanza dell'opera è legata alla comparsa in Italia dell'iconografia del Ch...