בתורת ההסתברות, בעיית המומנטים עוסקת בתנאים בהם התפלגות נקבעת ביחידות על ידי המומנטים שלה. כלומר תחת אילו תנאים לסדרת מומנטים קיימת התפלגות אחת שמתאימה לה. לבעיית המומנטים מספר ניסוחים ומספר שימושים, ביניהם בתורת ההסתברות, אנליזה פונקציונלית וסטטיסטיקה.

בניסוח הקלאסי, בעיית המומנטים שואלת, בהינתן סדרה ${\displaystyle m_{0},m_{1},m_{2},...}$, האם קיימת מידה חיובית ${\displaystyle \mu }$ על הישר הממשי, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, כך ש־${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$.

הבעיה למעשה עוסקת בקיום ויחידות של המידה ${\displaystyle \mu }$ אבל במונחים של תורת ההסתברות. בעיית המומנטים שקולה לשאלה האם התפלגות נקבעת על פי המומנטים שלה.

ניסוח זה הנקרא גם בעיית המומנטים של המבורגר (Hamburger moment problem).

לבעיית המומנטים ניסוחים נוספים הנבדלים בתומך של ${\displaystyle \mu }$:

• בעיית המומנטים של סטילטיס

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

• בעיית המומנטים של האוסדורף

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)}$^[1]

עבור סדרת מומנטים ${\displaystyle \{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, התנאים ההבאים שקולים^[2]:

1. קיימת מידה ${\displaystyle \mu }$ כך ש ${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$.
2. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ולכל ${\displaystyle c_{0},...,c_{n}\in \mathbb {R} }$ מתקיים ${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}m_{i}+jc_{i}c_{j}\geq 0}$.
3. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, המטריצה ${\displaystyle H_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ המוגדרת על ידי ${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}}$ היא מטריצה חיובית.

עבור סדרת מומנטים ${\displaystyle \{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, התנאים ההבאים שקולים^[3]:

1. קיימת מידה ${\displaystyle \mu }$ כך ש ${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$.
2. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ולכל ${\displaystyle c_{0},...,c_{n}\in \mathbb {R} }$ מתקיים ${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}m_{i}+jc_{i}c_{j}\geq 0}$ וגם ${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}m_{i+1}+jc_{i}c_{j}\geq 0}$.
3. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, המטריצות ${\displaystyle H_{n},H'_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ המוגדרות על ידי ${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j},(H'_{n})_{ij}=m_{i+j+1}}$ הן מטריצות חיוביות.

הסדרה, ${\displaystyle \{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ זו סדרת מומנטים ב${\displaystyle [0,1]}$ אם לכל ${\displaystyle k,n\in \mathbb {N} }$ מתקיים ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}s_{k+j}\geq 0}$.^[4]

המשפטים ההבאים מהווים תנאים ליחידות המידה ${\displaystyle \mu }$ המקיימת את בעיית המומנטים הקלאסית:

• תהיי ${\displaystyle \mu }$ מידת הסתברות, כך שלכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, המומנט ${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$ סופי. אם לטור חזקות ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}r^{n}}{n!}}}$ יש רדיוס התכנסות חיובי עבור ${\displaystyle r}$ חיובי כלשהו אזי ${\displaystyle \mu }$ מידת ההסתברות היחיד בעל המומנטים ${\displaystyle \{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$.^[5]
• תהי ${\displaystyle \{m_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרת מומנטים כך שמתקיים ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup {\frac {m_{2n}^{\frac {1}{2n}}}{2n}}<\infty }$ אז קיימת לכל היותר פונקציית צפיפות אחת, ${\displaystyle \mu }$, כך ש ${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$.^[6]

היחידות של המידה ${\displaystyle \mu }$ בבעיית המומנטים בנוסח האוסדורף נובע ממשפט הקירוב של ויירשטראס.

המונח בעיית המומנטום הופיע לראשונה בשנים 1894–1895, במאמרו של המתמטיקאי תומאס יוהאן סטילטיס. המאמר עסק בשברים משולבים ובין היתר, סטילטיס הציג ופתר בו את בעיית המומנטים בניסוח דומה לבעיית מומנטים סטילטיס אך התעסק רק בקיומו של המידה ${\displaystyle \mu }$ ולא ביחידותו. במאמר, סטילטס טבע את השם 'מומנטים' מעולם המכניקה ממנו שאב השראה לפתרון בעיות אנליטיות שונות.

ב-1920, המתמטקאי הגרמני הנס המבורגר (Hans Hamburger), הרחיב את הבעיה לציר הממשי והציג תנאים מספקים והכרחים לקיום מידת ${\displaystyle \mu }$ מתאימה. בשונה לסטילטיס, המבורגר גם הציג תנאים מספקים והכרחים ליחידות הפתרון. המבורגר היה הראשון שהתייחב לבעיית המומנטים כתורה בפני עצמה וכיום, הניסוח שלו לבעיה ידוע בתור הניסוח הקלאסי.

בסמיכות לעבודותו של המבורגר, גם המתמטיקאים רולף נבנלינה, מרסל ריס, טורסטן קלרמן ופליקס האוסדורף פיתחו את בעיית המומנטים.^[7]

• שיטת המומנטים (תורת ההסתברות)