בלה ואקסמן נולד במשפחה יהודית כבנם של עובד הדפוס מיקשה וקסמן ושל יוליאנה גולדשטיין. הוא למד פסנתר בבית הספר הלאומי למוזיקה בין 1925 לבין 1931, ולמד קומפוזיציה אצל זולטאן קודאי באקדמיה למוזיקה ע"ש פרנץ ליסט בין 1932 לבין 1936. הוא החל את דרכו המוזיקלית כמנצח. הוא ניצח על מקהלות פועלים, ניהל את מקהלת ואנדור מ-1941, עבד ברדיו בבוקרשט במהלך מלחמת העולם השנייה וארגן מקהלה הונגרית בבירת רומניה (1944). משנת 1945 הוא שוב היה בבודפשט במשך שנתיים, בראש מקהלת ואנדור, במקביל, בין 1945 לבין 1948, היה העורך המוזיקלי של הוצאת סיקרה. בשנת 1948 זכה בפרס בתחרות בארטוק הבינלאומית עם רביעיית המיתרים מספר 1 שלו. ב-1959, עם הקנטטה שלו "בשולי העיר", גרסה שהולחנה מחדש של יצירתו הקודמת (1944) שאבדה במהלך המלחמה, הוא זכה בפרס הראשון בתחרות הרדיו ההונגרי.
בין השנים 1950–1952 היה מנהל התזמורת הפילהרמונית הלאומית, ומ-1955 ועד מותו היה מנהל הוצאת המוזיקה (Editio Musica Budapest).
ב-9 בינואר1939 נשא לאישה את אווה, בתם של ברטלן גליק, פקיד, ושל גיזלה דונאט (1885–1974)[2] בבודפשט.[3] יש להם שתי בנות: יוליאנה טארדוש וקטלין טארדוש.
