בילדותו בצפת למד בחֵיידֶר ובבית ספר היסודי אליאנס. כמצטיין נשלח בשנת 1920 על ידי כי"ח לבית ספר אליאנס בפריז שם הוסמך כמורה ובשנת 1925 הוצב כמורה לעברית באליאנס דמשק. מרד הדרוזים האלים באותה שנה גרם לו לחזור לצפת ולשנות מקצוע[1]. בשנת 1926 התקבל ללימודי רפואה באוניברסיטה האמריקאית בביירות. בהיותו בחופשת מולדת במהלך מאורעות תרפ"ט הותקף בית הוריו על ידי ערבים חלקם שכנים. הוא ואביו בלמו במו ידיהם את הפורעים כאשר שאר בני הבית התחבאו בקומה העליונה. שניהם נפצעו מדקירות רבות והבית נשרף לחלוטין[3]. שני אחיו הקטנים, סמי שהיה בן 5 בעת הפרעות ופנינה בת 12, שהוחבאו בתוך ארון מתכת יצאו מהפרעות עם טראומות קשות אשר בעקבותיהן היגרו שניהם עם התבגרותם לניו-יורק.
אלי כהן פצוע בידו לאחר הפרעות ב-1929אלי כהן עם הוריו, אחיותיו ואחיו
במהלך קרבות מלחמת העצמאות בצפת התבקש כהן מפעם לפעם על ידי משפחות ערביות להמשיך ולטפל בהן והוא נענה. שומרים ערבים הוצמדו אליו כאשר חצה את הקווים והוא הלך ללא פחד לבתי ערבים לטפל בחוליו. במהלך המלחמה, על מנת להשיג שליטה טובה בהגנת צפת, העיר חולקה לשישה קטעים כאשר בכל קטע הוקמו בנקודות התורפה עמדות סטטיות. אחת העמדות נקראה 'עמדת בית ד”ר כהן' והייתה צמודה לגרם המדרגות שהפריד בין הרבעים. מול הבית, במרחק של כחמישה עשר מטר, הייתה עמדה ערבית ועם תחילת מעשי האיבה השכנים פוצצו את העמדה[8]. באזור זה התחולל הקרב הקשה לבלימת ההתקפה על הרובע היהודי מכיוון השוק והמסגד (ראה: הקרב על צפת). ב-7 במאי החל צבא ההצלה של קאוקג'י להפגיז את העיר בתותחים, דבר שעורר פאניקה וחרדה בקרב תושבי הרובע היהודי, וחלקם אשר סברו כי אין שום סיכוי לנצח בקרב, ביקשו מאלעד פלד להיכנע. לדברי פלד, במקביל לדרישה להיכנע, הציע אחד מתושבי הרובע היהודי, ד"ר אלי סלים כהן, שהיה בקשרים עם הערבים, לתווך בין הקהילה היהודית לקהילה הערבית. הוא אמר כי אם ההגנה והאצ"ל יעזבו את העיר יוכלו יהודי צפת תושבי העיר הוותיקים להגיע לידי הבנה גמורה עם שכניהם[9].
תוך כדי העיסוק ברפואה, לאחר קרבות מלחמת העצמאות, התנדב אלי לפעילות ציבורית ונבחר למועצת העיר צפת[11]. היה סגנו של ראש העיר[12] הראשון פדהצור ויחד אתו קיבל בצפת בשנים 1952–1953 את נשיא המדינהיצחק בן צבי ואת המועמד לנשיאות ארצות הברית מושל אילינויעדלי סטיבנסון[13].
בחודש יוני 2022 נחנכה בצפת סמטה על שמו של ד" אלי כהן. טקס הסרת הלוט מעל השלט, בסמטה המתחילה מרחוב ירושלים במדרחוב לעבר המצודה, נערך במעמד בני משפחה לדורותיהם בהם ילדיו, אילן, שלומי, עופרה ואמירה כהן אלמנת בנו ניסו. בטקס נכחו ראש העיר צפת, שוקי אוחנה, וחברת מועצת העיר, ויקי אלקבץ[10].
