אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי או אינטגרל מוכלל מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית
אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה

כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות

ניסוח פורמלי

תהא פונקציה המוגדרת בקטע ובלתי חסומה שם. אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים הגבול , אז נאמר כי אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של בקטע וסימונו יהיה . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי מתכנס אם ורק אם .

אינטגרביליות בהחלט

תהא פונקציה המוגדרת בקטע ובלתי חסומה שם. אם אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם האינטגרל מתכנס, אז נאמר ש- אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית. (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהא פונקציה המוגדרת בקטע . אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים כך שהאינטגרלים , מתכנסים, נאמר ש- אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע .

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהא פונקציה המוגדרת בקטע בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע . אז מתכנס אם ורק אם לכל קיים כך שלכל ממשיים בקטע מתקיים:

מבחן ההשוואה

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה פונקציות המוגדרת בקטע ובלתי חסומות שם. אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיימת סביבה שמאלית של שבה מתקיים אז:

  • אם מתכנס אז גם מתכנס.
  • אם מתבדר אז גם מתבדר.

קיימות הכללות למשפט זה עבור , ועבור .

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע ובלתי חסומות שם. אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים הגבול והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ו- מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם מתכנס אז גם מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם מתכנס אז גם מתכנס.

אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים

ניסוח פורמלי

תהא פונקציה המוגדרת בקטע , ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול , אז נאמר כי אינטגרבילית בקטע והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של בקטע וסימונו יהיה . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה:

האינטגרל מתכנס, שכן .

אינטגרביליות בהחלט

תהא פונקציה המוגדרת בקטע . אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל מתכנס, אז נאמר ש- אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהי פונקציה המוגדרת ב- ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים ממשי כך שהאינטגרלים , מתכנסים, נאמר ש- אינטגרבילית ב-.

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תהא פונקציה המוגדרת בקטע בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע . אז מתכנס אם ורק אם לכל קיים כך שלכל ממשיים מתקיים:

מבחן ההשוואה

תהיינה פונקציות המוגדרת בקטע . אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים כל שלכל מתקיים אז:

  • אם מתכנס אז גם מתכנס.
  • אם מתבדר אז גם מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע . אם קיים הגבול והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ו- מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם מתכנס אז גם מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם מתבדר אז גם מתבדר.

מבחן דיריכלה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.

תהיינה פונקציות בקטע . אם מתקיים:

  • מונוטונית בקטע .
  • .
  • אינטגרבילית בקטע .
  • הפונקציה חסומה בקטע .

בתנאים אלו האינטגרל מתכנס.

מבחן אבל

מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.

תהיינה פונקציות בקטע . אם מתקיים:

  • מונוטונית בקטע .
  • כאשר קיים וסופי.
  • אינטגרבילית בקטע ו- מתכנס.

בתנאים אלו האינטגרל מתכנס.

הוכחה למבחן אבל

על פי הנתונים נקבל כי:

כעת כפי שניתן לראות, מתכנס על פי מבחן דיריכלה ו- מתכנס על פי הגדרה.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אינטגרל לא אמיתי בוויקישיתוף

Read other articles:

American politician (1915–2003) Samuel J. Tedesco96th Lieutenant Governor of ConnecticutIn office1963–1966GovernorJohn N. DempseyPreceded byAnthony J. ArmentanoSucceeded byFred J. Doocy44th Mayor of Bridgeport, ConnecticutIn officeNovember 11, 1957 – November 8, 1965Preceded byJasper McLevySucceeded by Hugh C. Curran Personal detailsBorn(1915-02-21)February 21, 1915Bridgeport, ConnecticutDiedAugust 5, 2003(2003-08-05) (aged 88)Piedmont, CaliforniaPolitical partyDemocra...

 

Hale Passage and Wollochet Bay Navigation CompanyThe steamer Crest later renamed Bay Island.Founded1912 The Hale Passage and Wollochet Bay Navigation Company was a cooperative formed in 1912 by a group of 120 farmers for the purpose of pooling their resources to save shipping costs by purchasing a steamboat to ship their produce to market. The cooperative also intended to change the steamer's schedule to better fit the farmer's needs. In May 1912, the company bought the propeller steamer Cres...

 

الوكالة الجامعية الفرانكوفونية الاختصار (بالفرنسية: AUF)‏  البلد كندا  المقر الرئيسي مونتريال  تاريخ التأسيس 13 سبتمبر 1961  منطقة الخدمة الناطقون بالفرنسية  العضوية رابطة الجامعات الأوروبية[1]،  وريناتير[2]،  والاتحاد الدولي للجامعات[3]  الموق...

Kedai kopi atau coffeeshop, salah satu tempat yang dianggap dapat ditemukannya hipster Hipster merupakan sekumpulan masyarakat subkultur yang memiliki kesukaan akan hal yang dianggap memiliki jiwa seni, intelektual, dan berbeda atau tidak mengikuti selera pasar bahkan jauh terkenal sebelum mencapai masa ketenaran. Hipster merupakan salah satu produk subkultur yang secara umum disepakati sebagai kelompok yang menolak arus utama (mainstream) terutama dalam hal selera busana, musik, film, dan pr...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. Telur bubuk kering murni yang biasa dijual di Amerika Serikat Telur bubuk adalah telur yang sudah dikeringkan dan dijual dalam bentuk serbuk. Telur bubuk dibuat menggunakan pengeringan semprot dengan cara yang sama seperti susu bubuk dibuat. Keuntunga...

 

American actor (born 1968) Josh BrolinBrolin in 2014BornJosh James Brolin (1968-02-12) February 12, 1968 (age 56)Santa Monica, California, U.S.OccupationActorYears active1983–presentWorksFull listSpouses Alice Adair ​ ​(m. 1988; div. 1994)​ Diane Lane ​ ​(m. 2004; div. 2013)​ Kathryn Boyd ​ ​(m. 2016)​Children4, including EdenParentsJames Brolin (fathe...

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Серебряков; Серебряков, Алексей. Алексей Серебряков На кинофестивале «Кинотавр», Сочи, 2014 год Имя при рождении Алексей Валерьевич Серебряков Дата рождения 3 июля 1964(1964-07-03)[1][2][…] (59 лет) Место рожд...

 

Koordinat: 53°49′19″N 1°30′32″W / 53.822°N 1.509°W / 53.822; -1.509 Gledhow Valley Road, persimpangan dengan Gledhow Lane Gledhow adalah daerah suburban di timur laut Leeds, West Yorkshire, Inggris, terletak di sebelah timur Chapel Allerton dan barat Roundhay. Daerah ini secara administratif masuk ke dalam Ward Dewan Kota Roundhay. Ciri utama daerah tersebut adalah Gledhow Valley, sebuah daerah memanjang dari hutan dengan anak sungai kecil dan danau. Sebuah...

 

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Ildebrando (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento sovrani è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pagina o altri riferimenti precisi che indichino puntualmente la provenienza delle informazioni. Puoi migliorare questa voce citando le fonti più precisamente. Segui i su...

German author (born 1971) Oliver Hilmes (born 1971 in Viersen, Germany) is a German author who has written several historical biographies. His study of Cosima Wagner,[1] the daughter of the 19th century composer Franz Liszt and his biography of Alma Mahler a Viennese-born socialite, have been translated into English. Education Oliver Hilmes studied history, political science and psychology at Marburg University, the Sorbonne in Paris and the University of Potsdam. He earned his doctor...

 

Voce principale: Eccellenza 2009-2010. Eccellenza Basilicata 2009-2010 Competizione Eccellenza Basilicata Sport Calcio Edizione 19ª Organizzatore FIGC - LNDComitato Regionale Basilicata Date dal 13 settembre 2009al 18 aprile 2010 Luogo  Italia Partecipanti 16 Formula Girone all'italiana Risultati Vincitore Fortis Murgia(1º titolo) Retrocessioni BanziIrsinese 1950 Statistiche Incontri disputati 240 Gol segnati 717 (2,99 per incontro) Cronologia della competizione 2008-2009...

 

Andrea Colombo Informazioni personali Arbitro di Calcio Sezione Como Attività nazionale Anni Campionato Ruolo 2014-20172017-20212021- Serie DSerie CSerie A e B ArbitroArbitroArbitro Andrea Colombo (Como, 5 ottobre 1990) è un arbitro di calcio italiano. Carriera Inizia la sua carriera nel 2006 spinto da suo cugino Raffaele Colombo, arbitro internazionale di pallanuoto, che gli consigliò di provare a fare il direttore di gara di calcio. Dopo 3 stagioni in Serie D, nella stagione 2017-2018 v...

Multi-paradigm system programming language This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (January 2024) (Learn how and when to remove this message) For other programming languages named D, see D (disambiguation) § Computing. For other uses, see D (disambiguation). D programming languageParadigmMulti-parad...

 

Sceaux 行政国 フランス地域圏 (Région) イル=ド=フランス地域圏県 (département) オー=ド=セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長(任期) フィリップ・ローラン(2008年-2014年)自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人(2007年)人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標 北緯48度4...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أغسطس 2021) ما زال مصدر الميثان على المريخ غير معلوم، ويظهر رصده في هذه الصورة. عتبر وجود الميثان في الغلاف الجوي للمريخ محل اهتمام للعديد من الجيولوجيين وعلماء الأحياء ...

هذه المقالة عن المجموعة العرقية الأتراك وليس عن من يحملون جنسية الجمهورية التركية أتراكTürkler (بالتركية) التعداد الكليالتعداد 70~83 مليون نسمةمناطق الوجود المميزةالبلد  القائمة ... تركياألمانياسورياالعراقبلغارياالولايات المتحدةفرنساالمملكة المتحدةهولنداالنمساأسترالي...

 

Державна наукова установа «Київський академічний університет»КАУ|рівень акредитації КиївМіжнародна назва Kyiv Academic UniversityТип дослідницькийКраїна  УкраїнаГасло навчання через дослідженняЗасновано 1978 (2016)Засновник Національна академія наук УкраїниСтудентів 1000 випус...

 

American writer Jim RutenbergRutenberg in 2016BornUnited StatesOccupationJournalistSpouseOndine Karady Jim Rutenberg is a writer at large for The New York Times and The New York Times Magazine. He has written over 2,300 articles for The New York Times.[1] Career After finishing college in 1991, Rutenberg began working for the New York Daily News as a gossip stringer. He eventually worked his way up to becoming a general assignment reporter. In 1996, he was hired on staff and became a ...

Highest mountain in the British Isles This article is about the mountain in Scotland. For other uses, see Ben Nevis (disambiguation). Ben NevisBeinn NibheisBen Nevis from Banavie. The summit is beyond and to the left of the apparent highest point.Highest pointElevation1,345 m (4,413 ft)[1]Prominence1,345 m (4,413 ft)Ranked 1st in British IslesParent peaknone – Highest peak on island of Great BritainIsolation739 km (459 mi)ListingMunroMarilynRibuCou...

 

TarocchiI giocatori di Tarocchi, affresco in una sala di Palazzo Borromeo, anni quaranta del XV secolo TipoGioco di carte Luogo origineItalia Data origineXV secolo RegoleMazzomazzo di 78 carte (56 carte di seme italiano o francese più 21 trionfi e 1 matto) I tarocchi sono un mazzo di carte da gioco, generalmente composto da 78 carte, la cui origine pare risalga alla metà del XV secolo nell'Italia settentrionale. I tarocchi si diffusero in varie parti d'Europa e raggiunsero il periodo di mag...