אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה $\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$ , כאשר $\ d(\cdot ,\cdot )$ היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה $\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}$ נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

ניתן לראות את אי-שוויון המשולש במספרים הממשיים כמקרה פרטי של אי-השוויון על הישר הממשי. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות הערך המוחלט, אי-השוויון במקרה זה שקול ל- $\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|$ , לכל $\ a,b,c\in R$ .

כשבוחרים c=0, b=y ו-a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים $\ -|x|\leq x\leq |x|$ ו- $\ -|y|\leq y\leq |y|$ , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.

גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: ${\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}\leq |x-y|$ .

הוכחה פורמלית

לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות $\ |a|=|-a|$ ו- $\ a\leq |a|$ . אם $\ x+y\geq 0$ אז $\ |x+y|=x+y\leq |x|+|y|$ . אחרת, $\ x+y<0$ ומכאן $\ |x+y|=-x-y\leq |-x|+|-y|=|x|+|y|$ ולכן $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ .

דרך נוספת היא להשתמש בשוויון $\ |a|=\max\{a,-a\}$ , ואז $\ |x+y|=\max\{x+y,-x-y\}\leq \max\{|x|+|y|,|-x|+|-y|\}=\max\{|x|+|y|,|x|+|y|\}=|y|+|x|$ .

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ-A ל-C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה $\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

ראו גם

אי-שוויון המשולש האינטגרלי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון המשולש בוויקישיתוף

אי-שוויון המשולש, באתר MathWorld (באנגלית)
אי-שוויון המשולש, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

Read other articles:

Tor cairn

Bronze Age sites in Wales and southern England Cox Tor cairn - a platform of loose stones Yes Tor cairn Roos Tor cairn A tor cairn is a prehistoric cult site occurring in the British Isles, especially in Cornwall and Devon but also in Wales. It consists of a circular enclosure of stones or a platform of loose rocks surrounding a natural tor, sometimes encircled by a ditch. The diameter of the roughly 35 tor cairns ranges from 12 to over 30 metres and their height varies from 0.5 to 4.0 metres...

Bahasa Inggris Skotlandia

Artikel ini bukan mengenai Bahasa Scots. Bahasa Inggris Skotlandia ini mengacu kepada keragaman bahasa yang dituturkan di Skotlandia. Dalam sebutan ragam bahasa resminya yaitu Bahasa Inggris Skotlandia Baku (Inggris: Standard Scottish Englishcode: en is deprecated , disingkat sebagai SSE).[1][2][3][4] Bahasa Inggris Skotlandia Baku dapat didefinisikan sebagai suatu logat khas dari seluruh tingkatan para penutur asli bahasa Inggris di Skotlandia serta merupakan ...

Huelva

HuelvaMunisipalitasQueen Victoria district, English style suburb BenderaLambang kebesaranMotto: Portus Maris et Terrae CustodiaLokasi HuelvaNegara SpainKomunitas otonom AndalusiaProvinsiHuelvaComarcaComarca metropolitana de HuelvaDibentukAbad ke-10 SMPemerintahan • AlcaldePedro Rodríguez González (PP)Luas • Total149 km2 (58 sq mi)Ketinggian54 m (177 ft)Populasi (2010) • Total149.410 • Kepadatan1,000...

Televen

Venezuelan television network Television channel TelevenCountryVenezuelaHeadquartersCaracas, VenezuelaProgrammingLanguage(s)SpanishPicture format1080i HDTV(downscaled to 480i for the SD feed)OwnershipOwnerOmar Nicolas Camero ZamoraHistoryLaunched23 July 1988LinksWebsiteteleven.comAvailabilityTerrestrialAnalog VHF/UHFChannel 10 (Caracas, listings may vary)Digital UHFChannel 23.5 Televen (legally known as Corporación Televen C.A.) is a private Venezuelan national television network headquarter...

Panyabungan Selatan, Mandailing Natal

Panyabungan SelatanKecamatanPeta lokasi Kecamatan Panyabungan SelatanNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKabupatenMandailing NatalPemerintahan • Camat-Populasi • Total- jiwaKode Kemendagri12.13.04 Kode BPS1202051 Luas- km²Desa/kelurahan11 Panyabungan Selatan adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Mandailing Natal, Sumatera Utara, Indonesia. Pranala luar (Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Da...

César Marcano

Venezuelan cyclist For the Venezuelan footballer, see César Marcano (footballer). In this Spanish name, the first or paternal surname is Marcano and the second or maternal family name is Sánchez. César MarcanoPersonal informationFull nameCésar Mervin Marcano SánchezBornOctober 22, 1987 (1987-10-22) (age 36)Carabobo, Venezuela Medal record Men's track cycling Representing Venezuela Pan American Games 2011 Guadalajara Team sprint 2007 Rio de Janeiro Team Sprint...

Geplak

Indonesian sweet snack, originating from Java GeplakA bulk of geplakTypeConfectioneryCourseSnackPlace of originIndonesia[1]Region or stateJavaMain ingredientsCoconut, sugar, food coloring Geplak is an Indonesian sweet snack, originating from Java, made from equal parts coarsely grated coconut and sugar, often brightly colored. Some versions include rice flour, citrus leaves and/or pumpkin.[2] Geplak is mainly produced in Bantul, a city in Yogyakarta, Indonesia.[1] Refe...

Guinn "Big Boy" Williams

Guinn Big Boy WilliamsWilliams dalam The Law of the 45's (1935)LahirGuinn Terrell Williams Jr.(1899-04-26)26 April 1899Decatur, Texas, Amerika SerikatMeninggal6 Juni 1962(1962-06-06) (umur 63)Hollywood, California, Amerika SerikatNama lainBig BoyPekerjaanPemeranTahun aktif1919–1961Suami/istriBarbara Weeks(m. 19??; bercerai pada 19??) Kathleen Collins(m. 19??; bercerai pada 19??) Dorothy Peterson (m. 1943)Orang tuaGuinn Williams (bapak) ...

Cinclosomatidae

Family of birds Cinclosomatidae Spotted quail-thrush (Cinclosoma punctatum) Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Aves Order: Passeriformes Infraorder: Corvides Family: CinclosomatidaeMathews, 1921 Genera See list below Cinclosomatidae is a family of passerine birds native to Australia and New Guinea. It has a complicated taxonomic history and different authors vary in which birds they include in the family. It includes the quail-thrushes and je...

Maria Magdalena (Frederick Sandys)

Maria MagdalenaSenimanAnthony Frederick Augustus SandysTahunsekitar 1858–1860TipeMinyak di atas panelUkuran33.5 cm × 28 cm (13 ¼ in × 11 in)LokasiDelaware Art Museum, Wilmington, Delaware Maria Magdalena adalah sebuah lukisan Pra-Rafaelit tahun 1858-1860 karya Frederick Sandys. Maria Magdalena adalah satu-satunya figur dari Alkitab yang pernah dilukis oleh Sandys.[1] Referensi ^ Shadowlight: The Pre-Raphaelite Goddess. Diakses tangg...

Tom Jervis

Australian basketball player Tom JervisJervis in February 2019Personal informationBorn (1987-02-04) 4 February 1987 (age 37)Kalgoorlie, Western Australia, AustraliaListed height211 cm (6 ft 11 in)Listed weight105 kg (231 lb)Career informationHigh schoolMorley Senior(Perth, Western Australia)College Bevill State CC (2005–2007) Troy (2007–2009) NBA draft2009: undraftedPlaying career2005–2019, 2021–presentPositionCentreCareer history2005East Perth Eagles2006...

1905 en Alberta

Chronologie de l'Alberta 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 ►► Chronologies Données clés 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908Décennies :1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930Siècles :XVIIIe XIXe XXe XXIe XXIIeMillénaires :-Ier Ier IIe IIIe Chronologies géographiques Afrique Afrique du Sud, Algérie, Angola, Bénin, Botswana, Burkina Faso, Burundi, Cameroun, Cap-Vert, République centrafricaine, Comores, République ...

Afterpay

Afterpay LimitedURLafterpay.comTipeperusahaan bisnis dan Perusahaan publik Pengguna 7.3 juta (Feb 2020)Berdiri sejakOktober 2014 Lokasi kantor pusatMelbourne NegaraAustralia Total omset AU$ 251.6 juta (Juni 2019)StatusAktif Afterpay Limited (disingkat sebagai Afterpay) adalah sebuah perusahaan teknologi keuangan Australia yang beroperasi di Australia, Britania Raya, Kanada, Amerika Serikat, dan Selandia Baru. Afterpay didirikan pada 2014 oleh Nick Molnar dan Anthony Eisen.[1] Referens...

Lauren Nourse

Australia netball international Lauren Nourse 8 October 2008; Nourse (left) playing for Australia against England.Personal informationBorn (1982-08-10) 10 August 1982 (age 41) [1]Loxton, South Australia[2]Height 1.78 m (5 ft 10 in) [3]School Immanuel CollegeNetball career Playing position(s): WA, CYears Club team(s) Apps199x–2003 Contax 2003 AIS Canberra Darters 2004–2012 Queensland Firebirds Years National team(s) Caps2007–2011 Australia...

Melusine

Mythic water sprite For other uses, see Melusine (disambiguation). Melusine's secret discovered, from Le Roman de Mélusine by Jean d'Arras, c. 1450–1500. Bibliothèque nationale de France. Mélusine (French: [melyzin]) or Melusine or Melusina is a figure of European folklore, a female spirit of fresh water in a holy well or river. She is usually depicted as a woman who is a serpent or fish from the waist down (much like a lamia or a mermaid). She is also sometimes illustrated...

Seberkas Sinar

Seberkas SinarAlbum studio karya Nike ArdillaDirilisOktober 1989DirekamOktober 1987GenrePop remajahard rockpop rocksoft rockDurasi53:51LabelAriestaProyek QMusica Studio'sKronologi Nike Ardilla Seberkas Sinar (1989) Bintang Kehidupan (1990)Bintang Kehidupan1990 Seberkas Sinar adalah album pertama karya lady rocker remaja Indonesia, Nike Ardilla. Album ini dirilis pada tahun 1989 dan terkenal sampai tahun 1990 di bawah label Proyek Q dan Ariesta. Album ini terhitung sukses besar di pasaran ...

Sanjin Prcić

Bosnian footballer (born 1993) Sanjin Prcić Prcić with Rennes in 2016Personal informationDate of birth (1993-11-20) 20 November 1993 (age 30)Place of birth Belfort, FranceHeight 1.81 m (5 ft 11 in)Position(s) MidfielderYouth career2001–2011 SochauxSenior career*Years Team Apps (Gls)2011–2013 Sochaux II 56 (6)2013–2014 Sochaux 29 (0)2014–2018 Rennes 61 (3)2015–2016 → Torino (loan) 2 (0)2016 → Perugia (loan) 13 (3)2018–2019 Levante 10 (0)2019 → Strasbourg...

Ole Gunnar Solskjær

Cầu thủ và huấn luyện viên bóng đá người Na Uy (sinh 1973)Bản mẫu:SHORTDESC:Cầu thủ và huấn luyện viên bóng đá người Na Uy (sinh 1973) Ole Gunnar Solskjær Solskjær là huấn luyện viên trưởng Molde năm 2011Thông tin cá nhânTên đầy đủ Ole Gunnar Solskjær[1]Ngày sinh 26 tháng 2, 1973 (51 tuổi)[2]Nơi sinh Kristiansund, Na UyChiều cao 1,78 m (5 ft 10 in)[2]Vị trí Tiền đạoSự nghi�...

Топонимия Индонезии

Топонимия Индонезии — совокупность географических названий, включающая наименования природных и культурных объектов на территории Индонезии. Структура и состав топонимии обусловлены такими факторами, как состав населения, специфика исторического развития и геог�...

カノコユリ

カノコユリカノコユリ分類（APG IV）界 : 植物界 Plantae 階級なし : 被子植物 Angiosperms 階級なし : 単子葉類 Monocots 目 : ユリ目 Liliales 科 : ユリ科 Liliaceae 属 : ユリ属 Lilium 種 : カノコユリ L. speciosum 学名 Lilium speciosum Thunb. シノニムシノニム[1] Lilium albiflorum Hook.L. broussartii E.MorrenL. eximium KunthL. konishii HayataL. melpomene KronfeldtL. punctatum Lem.L. superbum Thunb.L. vestale Mast.他和名カ...