בשנת 1994 קיבל תואר שני במדיניות ציבורית מאוניברסיטת הרווארד ומונה לסגן מנהל המרכז הרפואי הדסה עין כרם. בשנת 1997 מונה למנהל בית החולים סורוקה, תפקיד שבו כיהן במשך ארבע שנים. בשנת 2001 מונה למנהל המרכז הרפואי הדסה. על הטיפול באישה בהריון באותה תקופה הוא ספג ביקורת מהשופט משה דרורי על שלא הציג בפני אישה חרדית את האופציה לבצע הפלה בשבוע ה־27 להריון, כאשר התברר שהעובר שהיא נושאת הוא בעל מום חמור[1]. כמנכ"ל הוא קידם את תחום תיירות המרפא וקרא לממשלת ישראל להציב את תיירות המרפא כיעד לאומי[2]. כמנכ"ל השקיע מרץ רב בבניית בניין האשפוז החדש, אשר נחנך בשנת 2012.
מור-יוסף זכה לחשיפה תקשורתית רבה ברחבי העולם בתחילת 2006, כאשר נהג לדווח לעיתונאים על מצבו של ראש ממשלת ישראל, אריאל שרון, שאושפז בבית החולים הדסה עין כרם לאחר שלקה בשבץ מוחי חמור. בשנת 2008 הוא הסכים להתמודד על ראשות עיריית ירושלים, אך הדבר לא יצא אל הפועל[3].
בתחילת שנת 2010 פורסם שמור-יוסף יסיים את תפקידו כמנכ"ל הדסה בסוף שנת 2010. מור-יוסף הודיע על פרישה, לאור חילוקי דעות בינו לבין ארגון נשות הדסה. בקשות לארגון נשות הדסה שיבקשו ממור יוסף להמשיך בתפקידו נענו בסירוב ובעקבות זאת התפטרו שלושה מהדירקטורים של בית החולים, בהם איתן רף[4]. בעקבות הודעת הפרישה התעוררה מחאה בקרב הסגל הרפואי של הדסה ובמרץ 2010 הושגה פשרה שעל פיה המשיך מור יוסף בתפקידו עד 1 בנובמבר 2011[5].
מור יוסף משמש כיו"ר הוועד המנהל של המכון הלאומי לחקר שרותי הבריאות ומדיניות הבריאות והיה יושב ראש הוועדה להסדרה חקיקתית של נושא ההריון והלידה, "ועדת מור יוסף". כמו כן שימש פרופסור מור יוסף כיו"ר הוועדה למיגור האלימות כלפי צוותים רפואיים. כיום הוא מתנדב כחבר הנהלת צוות תוכנית האב לתחבורה בירושלים[6].
בעקבות קריסתו הפיננסית של בית החולים הדסה בתחילת 2014, נמתחה ביקורת ציבורית רבה על תפקודו של מור יוסף בשנים שבהן ניהל את בית החולים ובהן נוצרו גירעונות כספיים של כמיליארד ורבע שקל[7].
באפריל 2012 מונה למנכ"ל המוסד לביטוח לאומי, וכיהן בתפקיד זה עד סוף 2016. בחודש יוני 2017 הודיע שר הפנים, אריה דרעי, על מינויו למנכ"ל רשות האוכלוסין וההגירה. ביולי החל את כהונתו בתפקיד.
