PROFILPELAJAR.COM

בעיות פתוחות במתמטיקה:

האם ישנם אינסוף מספרים ראשוניים שהם ראשוני ז'רמן?
(בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בתורת המספרים, מספר ראשוני p הוא ראשונִי ז'רמן, אם גם 2p+1 הוא מספר ראשוני. לדוגמה, המספר הראשוני 11 הוא ראשוני ז'רמן משום ש-23 ראשוני, ואילו 23 ראשוני ז'רמן, משום ש- 47 ראשוני. האחרון אינו ראשוני ז'רמן, שהרי 95 אינו ראשוני. ראשוניי ז'רמן קרויים כך על שם המתמטיקאית סופי ז'רמן, שהוכיחה עבורם את "המקרה הראשון" של השערת פרמה: אם p ראשוני ז'רמן, לא קיימים $\ x,y,z$ שאינם מתחלקים ב- p, המקיימים $\ x^{p}+y^{p}=z^{p}$ .

משערים שיש אינסוף ראשוניי ז'רמן. ואולם כמו השערת המספרים הראשוניים התאומים, השערה זו לא הוכחה. ראשוניי ז'רמן הראשונים הם 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431 ו- 443.

לפי קירוב היוריסטי של הארדי וליטלווד, מספר ראשוניי ז'רמן שמתחת לגבול נתון n הוא $\ 2C_{2}{\frac {n}{\log(n)^{2}}}$ , כאשר $\ \log$ הוא הלוגריתם בבסיס הטבעי, ו- $\ C_{2}\approx 0.66$ הוא קבוע הראשוניים התאומים. עבור n=10000, האומדן הזה חוזה 156 ראשוניי ז'רמן, פחות ב-20% מן המספר הנכון, 190. עבור $\ n=10^{7}$ , האומדן 50,822 נמוך בכ-10% מן המספר האמיתי, 56,032.

ראשוני ז'רמן הגדולים ביותר (נכון לאוגוסט 2021) הם:^[1]

ערך	מספר ספרות	זמן גילוי	מגלה
2618163402417 × 2^1290000 − 1	388342	פברואר 2016	PrimeGrid^[2]
18543637900515 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ − 1	200701	אפריל 2012	פיליפ בלידונג בחיפוש PrimeGrid מבוזר עם TwinGen ומבחן LLR^[3]
183027 × 2²⁶⁵⁴⁴⁰ − 1	79911	מרץ 2010	טום וו באמצעות LLR^[4]
648621027630345 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1 וגם 620366307356565 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1	76424	נובמבר 2009	זולטן ז'ראי, גבור פרקש, טימאה סאז'בוק, יאנוס קאזה ואנטאל ז'ראי^[5]^[6]
1068669447 × 2²¹¹⁰⁸⁸ − 1	63553	מאי 2020	מיכאל קווק^[7]
99064503957 × 2²⁰⁰⁰⁰⁸ − 1	60220	אפריל 2016	S. Urushihata^[8]
607095 × 2¹⁷⁶³¹¹ − 1	53081	ספטמבר 2009	טום וו^[9]
48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³ − 1	51910	ינואר 2007	דייוויד אנדרבקה באמצעות שימוש ב TwinGen ו LLR ^[10]
137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰ − 1	51780	מאי 2006	זולטן ז'ראי^[11]