בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$, כש-${\displaystyle w}$ הוא מספר מרוכב כלשהו ו-${\displaystyle e^{w}}$ היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם ${\displaystyle k}$ משויך ענף אחד, המסומן בצורה ${\displaystyle W_{k}({\text{z}})}$. ${\displaystyle W_{0}}$ מוגדר כענף הראשי (אנ'). לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם ${\displaystyle {\text{z}}}$ ו-${\displaystyle w}$ הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:

${\displaystyle we^{w}=z}$

אם ורק אם:

${\displaystyle w=W_{k}({\text{z}})}$ עבור ${\displaystyle k}$ שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים ${\displaystyle W_{0}}$ ו-${\displaystyle W_{-1}}$ בלבד; עבור המספרים הממשיים ${\displaystyle x}$ ו-${\displaystyle y}$ והמשוואה:

${\displaystyle ye^{y}=x}$

למשוואה זו יש פתרון רק עבור ${\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}$; אנו מקבלים כי ${\displaystyle y=W_{0}(x)}$ אם ${\displaystyle x\geq 0}$, ואת שני הערכים ${\displaystyle y=W_{0}(x)}$ וגם ${\displaystyle y=W_{-1}(x)}$ אם ${\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0}$ (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי ${\displaystyle W_{0}}$ מסומן כ-${\displaystyle W_{p}}$ והענף ${\displaystyle W_{-1}}$ מסומן כ-${\displaystyle W_{m}}$.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של ${\displaystyle f(w)=e^{w}}$ נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה ${\displaystyle we^{w}}$ בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-${\displaystyle W_{0}(1)}$.

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות^[1]., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי (אנ') שלה בדרכים אחרות.

בתחום ${\displaystyle |x|<{\frac {1}{e}}}$, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:^[2]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt}$

ועבור התחום הרחב יותר ${\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq e}$, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:^[3]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt}$

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:^[4][5]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt}$

עבור התחום ${\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}$ בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}}}$

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:^[7]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

ועבור התחום ${\displaystyle |W_{0}(x)|<1}$:^[8]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}$

ובאופן דומה, עבור התחום ${\displaystyle |W_{0}(x)|>e}$:

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}$

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של ${\displaystyle W}$ יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})}$

(${\displaystyle W}$ אינה גזירה עבור ${\displaystyle z=-{\frac {1}{e}}}$) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של ${\displaystyle W}$:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}}$

ובאמצעות שימוש בזהות ${\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}}$ נקבל את הנוסחה הבאה:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})}$

בענף הראשי נקבל ${\displaystyle W_{0}'(0)=1}$.

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה ${\displaystyle W(x)}$, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: ${\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}}$

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור ${\displaystyle x=0}$.

אם נשתמש בעובדה כי ${\displaystyle W_{0}(e)=1}$ נקבל:

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1}$

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}}$

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה ${\displaystyle u=W_{0}(x)}$, ואז ניתן גם להחליף את:

${\displaystyle x=ue^{u}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}}$

ואז ניתן להראות כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה ${\displaystyle u=x^{-2}}$, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה ${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x}$.

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$

עבור כל ${\displaystyle x}$ מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי ${\displaystyle W(x)}$ הוא מספר טרנסצנדנטי. אם ${\displaystyle W(x)}$ הוא 0, אז ${\displaystyle x}$ חייב להיות גם הוא 0, ואם ${\displaystyle W(x)}$ הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, ${\displaystyle e^{W(x)}}$ חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן ${\displaystyle x=W(x)e^{W(x)}}$ חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי (${\displaystyle W_{0}}$):

• ${\displaystyle W_{0}(-{\frac {\pi }{2}})={\frac {i\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1}$
• ${\displaystyle W_{0}(2\ln 2)=\ln 2}$
• ${\displaystyle W_{0}(0)=0}$
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}\approx 0.56714329}$ (קבוע אומגה)
• ${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1)}$
• ${\displaystyle W(e)=1}$
• ${\displaystyle W(e^{1+e})=e}$

מדיה וקבצים בנושא פונקציית W של למברט בוויקישיתוף

• פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
• פונקציית W של למברט, באתר MathWorld (באנגלית)
• מימוש הפונקציה בשפת C++