מתנד הרמוני קוונטי (נקרא גם אוסצילטור הרמוני קוונטי) הוא התוצאה של טיפול קוונטי בבעיה הפיזיקלית של מתנד הרמוני. האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא אחד מהמודלים הפיזיקליים החשובים ביותר בפיזיקה קוונטית ובפיזיקה המודרנית, מאחר שבעיות פיזיקליות רבות ניתן להציג (במדויק או בקירוב) כאוסף של אוסצילטורים קוונטים. היתרון הגדול של האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא שזו מערכת שהפיזיקאים יודעים לפתור במדויק.

הפסקאות הבאות במאמר דורשות ידע במכניקת הקוונטים, ובפרט: הכרה של סימוני דיראק ותורת שטורם-ליוביל. מומלץ לקרוא קודם את המאמר על משוואת שרדינגר.

מקרה פשוט של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי הוא חלקיק בעל מסה m, אשר נמצא תחת השפעת פוטנציאל (ליתר דיוק: אנרגיה פוטנציאלית) ${\displaystyle \ V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$. לכן, ההמילטוניאן של המערכת הוא $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$$ כאשר x הוא אופרטור המקום של החלקיק, ו־p הוא אופרטור התנע הצמוד לו (בהצגת המקום, ${\displaystyle p=-i\hbar \partial /\partial x}$). האיבר הראשון (השמאלי יותר) מייצג את האנרגיה הקינטית של החלקיק ואילו האיבר השני מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתוצאה מכוח חיצוני המופעל עליו.

במכניקת הקוונטים, פתרון של בעיה הוא מציאת המצבים העצמיים של המערכת והדרך בה הם מתפתחים בזמן. כדי לעשות זאת יש לפתור את משוואת שרדינגר ולמצוא את המצבים העצמיים של אופרטור ההמילטוניאן, שנקראים גם המצבים העצמיים של האנרגיה. הפתרון מתקבל באמצעות הפרדת משתנים: אם מציבים במשוואת שרדינגר ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-i{\mathcal {H}}t/\hbar }\left|\psi \right\rangle }$, מתקבלת משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן, ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$. אפשר לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בבסיס המקום, תוך שימוש בשיטת פרובניוס (פתרון מד"ר על ידי פיתוח לטור חזקות), ומתקבלת משפחה של פתרונות, $${\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}{\hbox{exp}}\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}$$ הפתרונות מתאימים למספר הקוונטי n, שיכול להיות כל מספר שלם אי־שלילי (0,1,2,3 וכן הלאה)

ששת הפתרונות הראשונים (n=0 עד n=5) מוצגים באיור שמשמאל. אלו הם גרפים של פונקציות הגל. הפונקציות H_n הן פולינומי הרמיט:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$

בפתרון בשיטת פרוביניוס, הקוונטיזציה של האנרגיות והערכים שלהן נובעים מהתנאי המתמטי שהפתרונות יהיו פולינומים סופיים ולא יתבדרו (השוו עם תנאי השפה של בור פוטנציאל אינסופי).

האנרגיות העצמיות (ראו: ערך עצמי) המתאימות לכל אחד מהפתרונות הן

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}$.

ספקטרום האנרגיה ממחיש שני מאפיינים נפוצים במערכות קוונטיות:

1. האנרגיות "מקוונטטות", כלומר: הן יכולות לקבל רק ערכים בדידים ולא משתנות ברציפות. האנרגיות קופצות במנת האנרגיה ("קוונט של אנרגיה") הבסיסית ${\displaystyle \hbar \omega }$ כל פעם, כלומר: ${\displaystyle \ E_{n+1}-E_{n}=\hbar \omega }$. ספקטרום האנרגיות הדיסקרטי הוא מאפיין של מערכות קוונטיות רבות, ולמעשה הוא נובע מכך שהמערכת היא מערכת קשורה ובמובן מסוים חסומה. נקדיש לכך דיון נוסף בפסקה על אופרטורי סולם.
2. האנרגיה המינימלית של המערכת איננה אפס, אלא ${\displaystyle \hbar \omega /2}$, שנקראת "אנרגיית מצב היסוד" או "אנרגיית נקודת האפס" (באנגלית: "ground state energy" או "zero-point energy"). אף על פי שעובדה זו לא נראית רבת חשיבות, יש לה השלכות חשובות ביותר כאשר מבצעים קוונטיזציה לשדות ומקרבים אותם על ידי אוסצילטורים הרמוניים. בהקשר זה, אנרגיית מצב היסוד נקראת גם אנרגיית הריק, וניתן אף למדוד אותה במעבדה (למשל, באפקט קזימיר).

צפיפות ההסתברות של פונקציית הגל של מצב היסוד מרוכזת בראשית, ומכאן שהחלקיק נמצא רוב הזמן בתחתית בור הפוטנציאל, קרוב לראשית, כפי שניתן לצפות ממצב בעל אנרגיה נמוכה. ככל שהאנרגיה של החלקיק גדלה, צפיפות ההסתברות מתרחקת מן המרכז, ומתרכזת בנקודות המפנה הקלאסיות, בהן האנרגיה העצמית מתלכדת עם האנרגיה הפוטנציאלית. מסקנות אלה עקביות עם התיאור הקלאסי של אוסצילטור הרמוני, בו חלקיק אנרגטי נמצא רוב הזמן בנקודות המפנה, שם מהירותו מתאפסת תוך כדי שהוא משנה כיוון. המסקנה העיקרית מדיון זה הוא שעקרון ההתאמה של נילס בוהר מתקיים, כנדרש.

הפתרון המפורש בבסיס המקום, באמצעות שיטת פרובניוס, הוא ישיר ומיידי, אך הוא די מסורבל וארוך. שיטת "אופרטורי הסולם", שהמציא פול דיראק, מאפשרת לחלץ את ספקטרום האנרגיות מבלי לפתור באופן ישיר את המשוואה הדיפרנציאלית. יתרה מכך, ניתן להכליל אותה לבעיות מסובכות יותר, בעיקר בתורת השדות הקוונטית.

בשיטה זו מוגדרים שני אופרטורים המאפשרים לעבור ממצב עצמי אחד לאחר, תוך שינוי של n ב-${\displaystyle \pm 1}$: אופרטור אחד מוריד את המערכת למצב אנרגטי נמוך יותר ("מדעיך את המערכת"), ואופרטור אחר מעלה את המערכת למצב אנרגטי גבוה יותר ("מעורר את המערכת"). השם הכללי של אופרטורים אלו הוא "אופרטורי חיסול ויצירה" (לפעמים "השמדה" במקום "חיסול"): כאשר אופרטור יצירה מעלה מצב ואופרטור חיסול מוריד מצב. מקור השם הוא בתורת השדות הקוונטית בה אנו מייחסים לכל דרגת עירור (כלומר: קוונטת אנרגיה) פוטון עם תדירות ${\displaystyle \omega }$ ואנרגיה ${\displaystyle \hbar \omega }$. אזי העלאת מצב שקולה ליצירת פוטון ואילו הורדת מצב לחיסול פוטון.

האופרטורים הללו, a והצמוד ההרמיטי שלו a^†, מוגדרים באמצעות האופרטורים x ו־p:

${\displaystyle {\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}}$

האופרטור a איננו אופרטור הרמיטי שכן הצמוד ההרמיטי שלו איננו שווה לו. בהגדרת a^† כצמוד ההרמיטי של a נעזרנו בעובדה שהאופרטורים x ו־p (שמייצגים גדלים הניתנים למדידה) הם אכן הרמיטיים.

האופרטורים x ו־p מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:

${\displaystyle \left[x,p\right]=i\hbar }$.

כאשר הסוגרים המרובעים מסמנים את הקומוטטור, שמוגדר כ

${\displaystyle \left[A,B\right]\equiv AB-BA}$.

תוך שימוש בהגדרות לעיל אפשר להוכיח את הזהויות הבאות:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)}$

${\displaystyle \left[a,a^{\dagger }\right]=1}$.

אלו הן הזהויות החשובות ביותר בשיטת אופרטורי הסולם, והן מייצגות את הדינמיקה של הבעיה - במונחים של a ו־a^†, במקום במונחים של x ו־p.

הוכחה

יהי ${\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }$ מצב עצמי של ההמילטוניאן עם אנרגיה עצמית E. המכפלה הפנימית של כל "קט" (ket) עם עצמו היא א-שלילית, ולכן ${\displaystyle \left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0}$. נבטא את ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ באמצעות ההמילטוניאן: ${\displaystyle \left\langle \psi _{E}\right|{{\mathcal {H}} \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0}$, כלומר ${\displaystyle E\geq \hbar \omega /2}$. כאשר (${\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle }$) הוא "קט" האפס (כלומר: הקט בעל נורמה ששווה לאפס), הביטוי האחרון הופך לשוויון. מכאן שקיימת אנרגיה E כך ש ${\displaystyle E=\hbar \omega /2}$. אפשר להראות שמכך נובע שקיים מצב עצמי (ששונה מאפס) עם האנרגיה הזו. מצב זה נקרא "מצב היסוד" (n = 0) ותיאור מתמטי מפורש שלו (בבסיס המקום) ניתן בפסקה הקודמת. תוך שימוש בזהויות לעיל, אפשר להראות שיחסי החילוף של a ו־a† עם H הם ${\displaystyle {\begin{matrix}\left[{\mathcal {H}},a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[{\mathcal {H}},a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}}$. כך, אם (${\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle }$) איננו "קט" האפס, השוויון הבא מתקיים: ${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[{\mathcal {H}},a\right]+a{\mathcal {H}})\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}}$. באותו אופן אפשר להראות ש- ${\displaystyle {\mathcal {H}}(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )}$. במילים אחרות, a פועל על מצב עצמי בעל אנרגיה E כדי ליצור (עד כדי קבוע כפלי) מצב עצמי עם אנרגיה ${\displaystyle E-\hbar \omega }$, ואילו a† פועל על מצב עצמי עם אנרגיה E כדי ליצור מצב עצמי עם ${\displaystyle E+\hbar \omega }$. מסיבה זו a נקרא "אופרטור הורדה" או "אופרטור חיסול" ואילו a† נקרא "אופרטור העלאה" או "אופרטור יצירה". כאמור, בתורת השדות הקוונטית זוג האופרטורים הללו נקראים אופרטורי חיסול ויצירה בהתאמה, מאחר שהם משמשים לחיסול ויצירה של "חלקיקים" הנושאים את קוונטת האנרגיה הבסיסית. אופרטורי הסולם מקיימים את יחסי היצירה והחיסול הבאים: ${\displaystyle \ a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle \quad ,\quad a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$ בהינתן מצב עצמי (של האנרגיה) כלשהו, ניתן "להוריד" אותו באמצעות הפעלת האופרטור a עליו וכך ליצור מצב עצמי אחר, עם ${\displaystyle \hbar \omega }$ פחות אנרגיה. באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה, זה נראה כאילו ניתן להפיק מצבים עם אנרגיות שליליות נמוכות כרצוננו. ברם, אפשרות זו סותרת את הדרישה שהוכחנו קודם: ${\displaystyle E\geq \hbar \omega /2}$. מכאן נובע שקיים מצב עצמי עם אנרגיית היסוד ("מצב היסוד"), המסומן ב־${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ כך ש ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$. כאשר 0 מסמן את "קט" האפס. זאת, על אף ש${\displaystyle \left|0\right\rangle \neq 0}$. במקרה זה, הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה תפיק את "קט" האפס - כלומר: לא כלום - ולא תיצור מצבי אנרגיה נוספים. יתרה מכך, הראינו ש ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle }$ לבסוף, אם נפעיל על ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ את אופרטור ההעלאה ונדאג לנרמל את המצב המתקבל בכל שלב, אנו יכולים ליצור את כל סט המצבים העצמיים האינסופי (אך הבן מנייה) של האנרגיות ${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}}$, כך ש ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle }$ שמתאים לספקטרום האנרגיות שמצאנו בפסקה הקודמת באופן ישיר.

שיטה נוספת לחשב את האנרגיה של אוסילטור הרמוני היא באמצעות הקוואזי-תנע המוגדר באופן הבא: ${\displaystyle P(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}log(\Psi (x))}$ .

באמצעות הצבת הקוואזי-תנע במשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן נקבל משוואה הדומה למשוואה הקלאסית, ומכאן מקור השם קוואזי-תנע ${\displaystyle P^{2}-i\hbar P'-2m(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2})=0}$

כעת, משום שלפונקציית הגל ברמה ה-n יש n אפסים (משפט כללי בתורת שטורם-ליוביל), נוכל לכתוב את הקוואזי-תנע כצירוף של n קטבים וחלק אנליטי, כאשר את מקדמי הקטבים ניתן לחשב ממשפט השארית (או מאינטגרציה מסביב ל-0 במישור המרוכב) להיות ${\displaystyle {\frac {\hbar }{i}}}$. על ידי הצבה במשוואה ולקיחת x לאינסוף, קל לראות שהחלק האנליטי של P ליניארי בx. מכאן, על ידי השוואת החלק הקבוע ניתן לקבל את האנרגיה E להיות בדיוק האנרגיה הקוונטית. הגבול הקלאסי מתקבל ישירות מלקיחת ${\displaystyle \hbar }$ להיות זניח ביחס לקבועים אחרים. יתרה מכך, השוואת החלק הקוטבי ל-0 נותן את האפסים של פולינומי הרמיט והבנה פיזיקלית שלהם בתור המצב הסטטי של חלקיקים (חלקיקי הקטבים) עם פוטנציאל מרכזי דוחה משאר החלקיקים ופוטנציאל הרמוני לחלקיק מסוים. ^[1]

במצבים העצמיים מתקיים שערכי התצפית של המקום והתנע הם 0. אנחנו מעוניינים בחיפוש מצבים שערכי התצפית שלהם יתנהגו כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי. נסתכל על המצבים הבאים:

${\displaystyle \ |\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle }$

כדי לייצר את המצב הקוהרנטי ${\displaystyle \alpha }$ יש להפעיל את אופרטור ההעתקה על מצב היסוד

${\displaystyle \ D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$

כאשר

${\displaystyle \ D(\alpha )=e^{\alpha a^{\dagger }-\alpha ^{*}a}=e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}a}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}}$.

מצבים אלה מקיימים:

• ${\displaystyle \ a|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \quad ,}$.
• סט המצבים הקוהרנטים איננו אורתונורמלי אלא בקירוב, שכן ${\displaystyle \ |\langle \alpha _{1}|\alpha _{2}\rangle |^{2}=e^{-|\alpha _{1}-\alpha _{2}|^{2}}}$. ביטוי זה שונה מאפס אך דועך מהר, ככל שהמצבים מתרחקים זה מזה.
• סט המצבים הקוהרנטים שלם "יתר על המידה", ואפילו יש בו "מצבים מיותרים" שכן ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int {d^{2}\alpha \ |\alpha \rangle \langle \alpha |}=1}$.
• מצבים אלה הם חבילת גלים מינימלית, כלומר: עיקרון אי הוודאות מתקיים כשוויון הדוק, ${\displaystyle \ \Delta x_{\alpha }\cdot \Delta p_{\alpha }=\hbar /2}$.
• אם נרשום ${\displaystyle \ \alpha _{0}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}x_{0}+i{\frac {p_{0}}{\sqrt {2\omega m\hbar }}}}$ נקבל שפונקציית הגל של המצב הקוהרנטי היא

  ${\displaystyle \ \psi _{\alpha 0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x-x_{0})^{2}}e^{-i{\frac {p_{0}}{\hbar }}x}}$

כעת, נסתכל על משוואות של אופרטורי הסולם (תמונת הייזנברג):

${\displaystyle \ {\dot {a}}={\frac {1}{i\hbar }}[a,H]=-i\omega a}$

${\displaystyle \ {\dot {a^{\dagger }}}={\frac {1}{i\hbar }}[a^{\dagger },H]=+i\omega a^{\dagger }}$

שפתרונן מיידי

${\displaystyle \ a(t)=a(0)e^{-i\omega t}\quad ,\quad a^{\dagger }(t)=a^{\dagger }(0)e^{+i\omega t}}$

ואז אופרטורי המקום והתנע יקבלו את התלות הזמנית הבאה:

${\displaystyle \ x(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a(t)+a^{\dagger }(t))=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)}$

${\displaystyle \ p(t)=-m\omega x(0)\sin(\omega t)+p(0)\cos(\omega t)}$

כעת נוכל להשתמש במצבים הקוהרנטים ולראות שהם אכן מתנהגים כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי. נשים לב ש

${\displaystyle \ \langle \alpha |a(t)|\alpha \rangle =\alpha e^{-i\omega t}}$

ולכן

${\displaystyle \ \langle x\rangle _{\alpha }=\langle \alpha |x(t)|\alpha \rangle ={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(\alpha e^{-i\omega t}+\alpha ^{*}e^{i\omega t})={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}2r\cos {(\omega t-\theta )}}$

כאשר הצבנו ${\displaystyle \ \alpha =re^{i\theta }}$. כך קיבלנו שחבילת הגלים של המצב הקוהרנטי ${\displaystyle \alpha }$ מתנודדת בתדירות זוויתית ${\displaystyle \omega }$, מופע ${\displaystyle \theta }$ ומשרעת ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}2r}$.

אוסצילטור הרמוני חד-ממדי ניתן ואף מתבקש להכליל לאוסצילטור של N-ממדים, כאשר N = 1, 2, 3, ...

בממד אחד, המיקום של החלקיק תואר באמצעות קואורדינטה אחת בלבד, x. ב-N ממדים, אנו נתאר את מיקומו באמצעות N קואורדינטות, שנסמן כ x₁, ..., x_N. לכל קואורדינטה נגדיר תנע צמוד מתאים ונסמן p₁, ..., p_N את N התנעים שקיבלנו.

נזכיר שוב שכל הקואורדינטות והתנעים בעצם אופרטורים הרמיטיים הניתנים למדידה. אופרטורים אלה מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:

${\displaystyle {\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}}$.

כאשר ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ היא הדלתא של קרונקר.

ההמילטוניאן עבור המערכת הוא

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)}$.

מהצגה זו ברור שאוסצילטור הרמוני N-ממדי הוא בעצם שקול ל-N אוסצילטורים חד-ממדיים בלתי תלויים (ובלתי מצומדים) בעלי אותה מסה m ותדירות תנודה ${\displaystyle \omega }$ (כלומר: אותו "קבוע הקפיץ"). במקרה זה, ניתן להסתכל על הקואורדינטות x₁, ..., x_N כאוסף המקומות של N חלקיקים, ולמזלנו הרב - מאחר שהפוטנציאלים מופרדים - אפשר לפתור את הבעיה עבור כל חלקיק, או אוסצילטור בנפרד. בשפה מקצועית, אנו אומרים שבכך "ליכסנו את הבעיה" מאחר שהתהליך של מציאת אופני תנודה או קואורדינטות נורמליות בלתי תלויות הוא אנלוגי לתהליך של לכסון מטריצה.

מסקנה זו הופכת את הפתרון לישיר ומיידי. את המערכת מאפיינים N-יות של מספרים קוונטים: ${\displaystyle \ {n}\equiv (n_{1},n_{2},...,n_{N})}$ כאשר n_i מסמן את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i, כלומר: אם הוא בדרגת עירור n_i אזי האנרגיה שלו היא ${\displaystyle \ E_{n_{i}}=\hbar \omega \left(n_{i}+1/2\right)}$ והוא במצב העצמי המתאים. המצב המתאים ל-N לעיל הוא מכפלה טנזורית של המצבים העצמיים של כל אוסצילטור חד-ממדי המתאים לדרגת העירור שלו

${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle }$

עם אנרגיה עצמית

${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]}$.

בשיטת אופרטורי הסולם, אנו מגדירים סט של N אופרטורים (ו-N צמודים):

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{i}&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)\\a_{i}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)\end{matrix}}}$.

ובאופן אנלוגי למקרה החד-ממדי אפשר להראות שהאופרטורים a_i ו a^†_i מורידים ומעלים (בהתאמה) את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i. רמות האנרגיה של המערכת הן, אם כן

${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]}$.

${\displaystyle \,n_{i}=0,1,2,\dots }$

כמו במקרה החד-ממדי, ספקטרום האנרגיות הוא מקוונטט (ולא רציף). אנרגיית היסוד היא N פעמים כפול אנרגיית היסוד של אוסצילטור חד-ממדי, כמצופה מכך שהמערכת שקולה ל-N אוסצילטורים שכאלה. ברם, ישנו הבדל אחד בין הספקטרום החד-ממדי לזה הרב-ממדי והוא שהספקטרום הרב-ממדי מנוון, כלומר: יש 2 מצבים קוונטים שונים בעלי אותה אנרגיה עצמית, בעוד שבספקטרום החד-ממדי לכל אנרגיה היה מצב עצמי אחד בלבד.

ניתן לחשב את דרגת הניוון בקלות יחסית. נתבונן, לדוגמה, במקרה התלת-ממדי. נגדיר: n = n₁ + n₂ + n₃. כל המצבים עם n נתון הם מנוונים. עבור n נתון, נבחר n₁ כלשהו. לפיכך, n₂ + n₃ = n − n₁. ישנן n − n₁ + 1 קבוצות אפשריות {n₂, n₃}. המשתנה n₂ יכול לקבל את הערכים 0 עד n − n₁, ולכל n₂ הערך של n₃ נקבע ביחידות. לכן, דרגת הניוון היא (הסכימה היא רק על n₁):

${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

תנודות בגביש (סריג מוצק, lattice) ניתן לתאר כאוסף אוסצילטורים מצומדים

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}}$

כאשר הקואורדינטה x_i הוא המיקום של האטום ה-i בסריג ביחס לנקודת שיווי המשקל שלו בסריג. הסכימה כאן נעשית רק על זוגות שכנים סמוכים, ואף על פי שזהו בדרך כלל רק קירוב - ברוב המקרים זהו קירוב מוצדק. קירוב זה מתאים למודל שבו כל שני חלקיקים שכנים סמוכים בגביש מחוברים ביניהם בקפיץ (דמיינו רשת תלת-ממדית של קוביות, בה בכל קודקוד יש חלקיק וכל צלע היא קפיץ).

מסתבר שישנה מערכת קואורדינטות בה ניתן להציג את הבעיה כאוסף של N אוסצילטורים בלתי-תלויים. בקואורדינטות אלה ההמילטוניאן מלוכסן ואפשר להפעיל מיידית את הפתרון שמצאנו קודם. ברם, לא ניתן עוד לפרש את ה"אוסצילטורים" והפתרונות שקיבלנו כאמפליטודות התנודה של חלקיק מסוים בגביש, אלא כעירורים קולקטיביים בהם כל הגביש רוטט באופן תנודה כלשהו. לעירורים או אופני תנודה אלה קוראים "פונונים Phonons" ומתייחסים אליהם כאל חלקיקים, מאחר שכמו פוטונים, ניתן ליחס להם תכונות חלקיקיות (אנרגיה, תנע, העברת קוונט אנרגיה, יצירת זרם פונונים). את הפונונים ניתן למצוא במוצקים רבים ולהם אפקטים חשובים ביותר, שאינם ניתנים להזנחה. חקר השפעת הפונונים על התנודות בגביש ועל תכונות כגון פיזורי בראג, קיבול חום ומוליכות הוא ענף חשוב של פיזיקה של מצב מוצק.

• מתנד הרמוני (קלאסי)
• מצבים קוהרנטיים
• תורת השדות הקוונטית

• מתנד הרמוני קוונטי בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"