משוואה ממעלה חמישית היא משוואה פולינומית ממעלה חמישית, כלומר מהצורה

$${\displaystyle a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

כאשר ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{5}}$ הם קבועים ו-${\displaystyle a_{5}}$ אינו 0.

הפתרון למשוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר בעת העתיקה, ובשלהי ימי הביניים נמצאו גם הפתרונות למשוואות ממעלה שלישית ורביעית, באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש מסדר שני, שלישי ורביעי. הפתרון למשוואה ממעלה רביעית היה מבוסס על רדוקציה למשוואה ממעלה שלישית, אלא ש"רדוקציה" דומה במשוואה ממעלה חמישית הניבה משוואות ממעלה שישית, שעוד יותר קשה לפתור. מתמטיקאים מן השורה הראשונה – לרבות לאונרד אוילר וז'וזף לואי לגראנז' – לא יכלו לאתגר.

ב-1683 מצא צ'ירנהאוס (אנ') את טרנספורמציית צ'ירנהאוס (אנ') המאפשרת להמיר משוואה פולינומית כללית, מהצורה ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$, במשוואה ${\displaystyle z^{n}+b_{n-4}z^{n-4}+\cdots +b_{0}=0}$, כלומר, משוואה מאותה מעלה ללא המונומים ממעלה ${\displaystyle n-1,n-2,n-3}$, כאשר המשתנה החדש ${\displaystyle z}$ הוא פולינום ממעלה רביעית במשתנה הישן ${\displaystyle x}$, עם מקדמים שהם ביטויים רדיקליים מסובכים במקדמים המקוריים ${\displaystyle a_{n-1},\ldots ,a_{0}}$. שיטה זו, שהייתה ההתקדמות המשמעותית ביותר בחקר המשוואות הפולינומיות מאז פתרון המשוואה ממעלה רביעית מאתיים שנה קודם לכן, מאפשרת להמיר כל משוואה ממעלה חמישית במשוואה מהצורה ${\displaystyle z^{5}+b_{1}z+b_{0}=0}$. שיטות אלה הביאו את המתמטיקאי השוודי ארלנד ברינג לגלות את רדיקל ברינג, שבאמצעותו אפשר לפתור משוואה ממעלה חמישית במקרים פרטיים רבים.

בתחילת המאה ה-19 גילו נילס הנריק אבל (שהשלים הוכחה של פאולו רופיני) ואווריסט גלואה, באופן בלתי תלוי, שמשוואות כלליות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים, כלומר פתרון כללי המבוסס רק על ארבע פעולות החשבון ושימוש בשורשים. גלואה גם אפיין באופן מלא את כל המשוואות הפולינומיות הניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים. לתגלית חשיבות מרחיקת לכת על התפתחות המתמטיקה, הרבה מעבר לתורת המשוואות, והיא הביאה ללידת תורת החבורות ותורת גלואה.

משהתברר שאי אפשר לפתור את המשוואות ממעלה חמישית בפעולות המוכרות, עלתה השאלה באילו כלים אחרים יש להשתמש כדי להשיג בכל זאת פתרון אנליטי. ב-1858 מצא המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט שיטה לפתרון מלא של משוואה ממעלה חמישית באמצעות פונקציות אליפטיות. ב-1861 הראה שכל הרחבת שדות ממעלה 5 נוצרת על ידי איבר המקיים משוואה מהצורה ${\displaystyle z^{5}+bx^{3}+c(x+1)=0}$ (אלא אם שדה הבסיס הוא השדה בן שני איברים); התוצאה משתמשת בטרנספורמציות צ'ירנהאוס באופן שאינו מחייב הרחבה של שדה הבסיס^[1]. זמן מה אחר-כך גילה המתמטיקאי היהודי-גרמני לאופולד קרונקר, באופן בלתי תלוי, דרך לפשט את התוצאות של הרמיט. ב-1877 מצא פליקס קליין דרך להמיר משוואות ממעלה חמישית בנעלם ${\displaystyle z}$ למשוואות מיוחדות מאוד ממעלה 12 בנעלם ${\displaystyle z^{5}}$, הקשורות בחבורת הסימטריות של העשרימון, ושאפשר היה לפתור באופן שלם באמצעות טורים היפרגאומטריים.

• מריו ליביו, שפת הסימטריה: המשוואה שלא נמצא לה פתרון, אריה ניר הוצאה לאור, 2005
• Solving the Quintic with Mathematica, Wolfram Research.

• משוואה ממעלה חמישית, באתר MathWorld (באנגלית)