יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
	הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית (₂F₁(a,b;c;z באנליזה מתמטית היא פונקציה מיוחדת המיוצגת על ידי הטור ההיפרגאומטרי, אשר כוללת פונקציות מיוחדות רבות אחרות כמקרים פרטיים או מקרי גבול; דוגמאות לפונקציות המהוות מקרים פרטיים שלה כוללות את הפונקציות האלמנטריות, פונקציות בסל ופולינומים אורתוגונליים. הפונקציה ההיפרגאומטרית היא גם הפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילה וליניארית מסדר שני; יותר מכך, כל משוואה דיפרציאלית רגילה וליניארית מסדר שני עם שלוש נקודות סינגולריות ניתן להפוך בעזרת טרנספורמציה מתאימה למשוואה הדיפרנציאלית ההיפרגאומטרית.

פונקציה היפרגאומטרית מוכללת, כפי ששמה מרמז, היא הכללה של הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית, ומבחינה היסטורית היא נחקרה מאוחר יותר. אף על פי כן, נוח להציג אותה קודם, כדי שתשמש כרקע להגדרת הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית.

במונח "טור היפרגאומטרי" נעשה שימוש לראשונה על ידי ג'ון ואליס בספרו מ-1665 Arithmetica Infinitorum.

טורים היפרגאומטריים נחקרו לראשונה על ידי לאונרד אוילר, אולם הטיפול השיטתי הראשון בהם ניתן על ידי קרל פרידריך גאוס במאמר מ-1813.

מחקרים משמעותיים על הפונקציה ההיפרגאומטרית שנעשו במאה ה-19 כוללים את אלו של ארנסט קומר (1836) ושל ברנהרד רימן (1857), שאפיין את הפונקציה ההיפרגאומטרית באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהיא מקיימת.

רימן הראה שכאשר חוקרים את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני שמקיימת (₂F₁(z במישור המרוכב, אז היא ניתנת לאפיון (על הספירה של רימן) על ידי שלוש נקודות הסינגולריות שלה.

המקרים בהם הפתרונות למשוואה ההיפרגאומטרית הם פונקציות אלגבריות נמצאו על ידי הרמן שוורץ.

הטור ההיפרגאומטרי הכללי ביותר מוגדר באופן פורמלי כטור חזקות:

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

שבו היחס בין מקדמים עוקבים הוא פונקציה רציונלית של האינדקס הסידורי n של האיברים:

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

כאשר (A(n ו-(B(n הם פולינומים של n.

למשל, במקרה של הטור שמייצג את הפונקציה האקספוננציאלית:

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

נקבל:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}}$,

כך שטור זה מקיים את ההגדרה, שכן A(n) = 1 ו- B(n) = n + 1.

באופן כללי, מקובל להוציא מחוץ לסוגריים את האיבר הראשון בטור, כך שמותר להניח ש-β₀ שווה 1. הפולינומים ניתנים לפירוק לגורמים ליניאריים מהצורה (a_j + n) ו-(b_k + n), כאשר a_j ו-b_k הם מספרים מרוכבים. מסיבות היסטוריות, מניחים ש-(1 + n) הוא גורם של B. אם זה לא המצב אז אפשר לכפול את A ו-B בגורם הזה; הגורם מצטמצם כך שהאיברים נותרים ללא שינוי ואין אובדן כלליות. במובן זה, ההגדרות שיובאו בהמשך לפונקציות היפרגאומטריות עם m פרמטרים, שהם גם ההגדרות הנכונות מבחינה היסטורית, הן למעשה פונקציה היפרגאומטריות עם m + 1 פרמטרים, כאשר אחד הפרמטרים שלהן הוא 1.

לפיכך, אם מפרקים לגורמים את (A(n ו-(B(n, אז מקבלים שהיחס בין מקדמים עוקבים הוא מהצורה:

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

כאשר c ו-d הם המקדמים של החזקות הגבוהות ביותר של A ו-B. לטור יש לפיכך את הצורה:

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

או, באמצעות הכפלה של z בפקטור מתאים וסידור מחדש של האיברים במונה ובמכנה:

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

לטור זה יש צורה של פונקציה יוצרת מעריכית, והוא מיוצג בדרך כלל על ידי הסימון המקוצר:

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

או:

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$.

באמצעות סימן פוקהאמר (Pochhammer symbol):

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}}$

ניתן לכתוב מחדש את הפונקציה כך:

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית מתקבלת כאשר p = 2, q = 1 ונדרשים 3 פרמטרים (p + q = 3) כדי לאפיין את הטור שמייצג אותה. במקרה זה מקבלים:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

היחס בין מקדמים עוקבים של הטור הוא ${\displaystyle {\frac {(a+n)(b+n)}{(c+n)\cdot n}}}$ והוא שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף, לכן נקבל שהטור הזה מתכנס רק בעבור מספרים מרוכבים z שמקיימים z| < 1|^[1]. ניתן להיווכח בנקל כי הפונקציה הזאת מקיימת נוסחאות גזירה כגון:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$

או באופן כללי יותר: ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$

וניתן לקבל פונקציות מיוחדות מוכרות אחרות כמקרים ספציפיים שלה:

${\displaystyle \ln(1+z)=z\ _{2}F_{1}(1,1;2;-z)}$

${\displaystyle (1-z)^{-a}=\ _{2}F_{1}(a,1;1;z)}$

${\displaystyle \arcsin(z)=z\ _{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}{\bigr )}}$.

שש הפונקציות:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$

נקראות contiguous ל-(₂F₁(a, b; c; z. גאוס הראה ש-(₂F₁(a, b; c; z ניתנת לכתיבה כצירוף ליניארי של כל שתיים מהפונקציות האלה, כאשר מקדמי הצירוף הם פונקציות רציונליות ב-a, b, c ו-z, למשל^[2]:

${\displaystyle c(1-z){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-c{}_{2}F_{1}(a-1,b;c;z)+z(c-b){}_{2}F_{1}(a,b;c+1;z)=0}$

לפיכך, יש בדיוק:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$

קשרים כאלו. באופן כללי יותר, ניתן לקשור בין כל שלוש פונקציות היפרגאומטריות מהצורה ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$ כאשר m, n ו-l מספרים שלמים, וזאת באמצעות איטרציות חוזרות על הקשרים המתמטיים הללו.

גאוס נעזר בקשרים שמצא כדי לגזור מספר דרכים לרשום את המנה של שתי פונקציות היפרגאומטריות כשבר משולב, למשל:

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

• פונקציה היפרגאומטרית, באתר MathWorld (באנגלית)