אבידור נולד בשם משה בורשטיין בינואר 1906 בעיר קייב שבדרום-מערב האימפריה הרוסית (אוקראינה), השני מחמשת ילדיהם (שלושה בנים ושתי בנות) של ציפורה לבית בּוּכְמַן ואברהם מאיר בורשטיין. בילדותו, ב-1913, עלה לארץ ישראל ולמד בגימנסיה הרצליה עמה גלה לכפר סבא בגירוש תל אביב[1].
נסע ללמוד בארצות הברית. לאחר שקיבל בשנת 1929 תואר ראשון במדעים מאוניברסיטת ניו יורק, המשיך ללימודים מתקדמים במחלקה להיסטוריה באוניברסיטת קולומביה, וקיבל בה תואר שני (1931) ותואר דוקטור (1933). עבודת המוסמך הייתה בנושא החיים הקהילתיים היהודיים בארץ ישראל בשנים 1917–1927 ("A decade of Jewish communal life in Palestine, 1917-1927")[2], והדיסרטציה שלו, בנושא הממשל העצמי של היהודים בארץ ישראל מאז 1900 ("Self-Government of the Jews in Palestine Since 1900"),[3] התפרסמה ב-1934 בהוצאת הפועל הצעיר (ושוב ב-1976 בווסטפורט, בהוצאת Hyperion Press).
בנוסף כיהן כיו"ר הוועד הישראלי לאונסק"ו משנת 1955 ועד סוף 1968, עת התמנה כשגריר ישראל לאונסק"ו בפריז[9], וכיהן בתפקיד זה עד סוף 1970, אז שב לארץ[10]. באוגוסט 1971, בשנה ה-66 לחייו, נפצע קשה בתאונת דרכים בירושלים[11] ולא התאושש ממנה עוד. נפטר באביב 1985, ונטמן בהר המנוחות.
באפריל 1933 נישא לאידה ריְינִיש (1912–1998), ולזוג נולדו שלוש בנות: דקלה לרנר, פרופ' רמונה מרגלית, ורדה אבידור. אחד מנכדיו הוא עמיר לרנר, מנכ"ל בית איזי שפירא.
משה אבידור ויצחק ספיבק, עם ישראל בארצו ובנכר, 4 כרכים, תל אביב: מסדה, תש"ח–תש"ך. (ספר לימוד לבית הספר התיכון) (ראה אור במהדורות נוספות.)
עשר שנות חינוך: תש"ח-תשי"ח, ירושלים: משרד החינוך והתרבות, תשי"ח. (חוברת)[12]
Moshé Burstein, Self-Government of the Jews in Palestine Since 1900, Tel Aviv: Ha-Poel Ha-Tzair, 1934. (Reprint: Westport, Conn.: Hyperion Press, (The Rise of Jewish nationalism and the Middle East), 1976.)
Education in Israel, Jerusalem: Youth and Hehalutz Department of the Zionist Organization, 1957.
L’enseignement et ses problèmes, Jerusalem: La Semaine israélienne (Israel aujourd’hui), 1958. (חוברת)
Education for a growing nation, Jerusalem: Israel Digest (Israel today), 1958. (חוברת)
Educación para un pueblo en marcha, Jerusalem: Crónicas (Israel de hoy), 1958. (חוברת)
Das Erziehungswesen, Jerusalem: Informationsabteilung des Aussenministeriums (Schriftenreihe Israel), 1966. (חוברת)
לקריאה נוספת
"Avidor, Moshe", in Who's who in Israel and in the Work for Israel Abroad, 1969, p. 31.
"Avidor, Moshe", in Who's who in world Jewry, 1978, p. 40.