במכניקה קלאסית, מקדם תקומה הוא גודל פיזיקלי המאפיין את מידת האלסטיות בהתנגשות בין שני גופים. מקדם התקומה הוא מינוס הפרש המהירויות אחרי ההתנגשות חלקי הפרש המהירויות לפני ההתנגשות, כלומר

${\displaystyle \ e=-{\frac {u_{2}-u_{1}}{v_{2}-v_{1}}}}$

כאשר ${\displaystyle \ v_{2},v_{1}}$ הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לפני ההתנגשות, ו-${\displaystyle \ u_{2},u_{1}}$ הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לאחר ההתנגשות.

מקדם תקומה שערכו אחת מציין התנגשות אלסטית לחלוטין, שבה נשמרת האנרגיה הקינטית, בעוד מקדם תקומה אפס משמעותו התנגשות פלסטית לחלוטין. מקדם תקומה בין אפס לאחת מציין התנגשות ביניים. מקדם התקומה לא מייצג את כמות האנרגיה הקינטית שהלכה לאיבוד בהתנגשות, אם כי הגדלים קשורים זה בזה.

המהירויות בנוסחה הן סקלרים, כלומר עבור התנגשות המתרחשת בממד אחד. כל התנגשות בין שני גופים ניתן לרשום בממד אחד במערכת הייחוס של מרכז המסה.

מקדם התקומה של התנגשות תלוי בגורמים רבים, כגון: מידת האלסטיות של הגוף הפוגע, סוג המשטח בו פוגע בגוף, ויסקואלסטיות (חיכוך פנימי בתוך הגוף) ועוד. עם זאת, גם בהתנגשויות אידיאליות מהבחינות הללו (היעדר חיכוך פנימי, משטח קשיח במידה אינסופית וחומר אלסטי למדי) עדיין קיימת מגבלה בסיסית על מקדם התקומה של עצם, והוא לעולם לא יכול להיות שווה לאחד. הסיבה לכך היא שמהירות הקול בחומר ממנו עשוי הגוף הפוגע סופית, כך שחלקים שונים שלו "יודעים" על ההתנגשות בזמנים שונים ויש הפרש בזמני התגובה שלהם. כתוצאה מסופיות מהירות הקול, הגוף לא מגיב כגוף קשיח, וחלק מהאנרגיה של ההתנגשות מועברת לרובד פנימי (רעידות פנימיות למשל) במקום לאנרגיה קינטית של מרכז המסה.

מקדם התקומה אינו תכונה של החומר ממנו עשוי העצם בלבד מכיוון שהוא משתנה עם הצורה של הגוף והתנאים הספציפיים של ההתנגשות, אבל הוא ניתן לחיזוי מתכונות החומר וממהירות הפגיעה כאשר מפשטים את מאפייני ההתנגשות. כדי להימנע מהסיבוכים הכרוכים בתנועה סיבובית וחיכוך, נחשיב את המקרה האידיאלי של זוג עצמים כדוריים זהים, המתנגשים כך שמרכזי המסה שלהם והמהירויות היחסיות שלהן נחות כולן על ישר אחד.

עבור חומרים רבים, כמו מתכות וחומרים קרמיים, ניתן להניח שהם אלסטיים באופן מושלם כאשר המאמצים המתפתחים בהתנגשות לא עוברים את החוזק שלהם, בו ניתן לראות את הגבול האלסטי שלהם. כאשר הנחה זו מתקיימת, אנרגיית ההתנגשות נאגרת באופן תאורטי במעיין אפקט-קפיצי של דחיסה אלסטית והתוצאה היא e = 1. אולם הנחה זו תקפה רק למהירויות של בין 0.1m/s ל-1m/s. הגבול האלסטי נשבר במהירויות גבוהות יותר משום שכל האנרגיה הקינטית נאגרת בנקודת המגע. יותר מכך, הגבול האלסטי נשבר בחלק משטח המגע, ותוצאתו אובדן אנרגיה קינטית לדפורמציה פלסטית. ניתן להסיק את חוק הפרופורציה הבא להתנהגות האנרגיה הקינטית שלא אבדה לדפורמציה פלסטית משיקולים אלה:

${\displaystyle \%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$

וממנו להסיק את התנהגות מקדם התקומה עבור מהירות וצפיפות נתונות:

${\displaystyle {\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}}$

חוזק גבוה של החומר מאפשר לחלק גדול יותר של "נפח המגע" של החומר להישאר בתחום האלסטי. מודול אלסטי נמוך יותר מאפשר לשטח מגע גדול יותר להתפתח במהלך ההתנגשות כך שהאנרגיה מתפלגת על נפח גדול יותר מתחת למשטח בנקודת המגע. זה עוזר למנוע שבירה של הגבול האלסטי.

ניתן למדל גוף מורכב כמערך של N מסות שבין כל שניים מחבר קפיץ רפוי. ברגע שהגוף נכנס להתנגשות הגוף, דהיינו המערך, סופג זעזוע מסוים, וחלק מהאנרגיה הקינטית המקורית של הגוף הופך לאנרגיה ויברציונית פנימית של הגוף, כך שהגוף חוזר רק עם חלק מהאנרגיה הקינטית המקורית שלו כאנרגיית מרכז מסה. תחת ההנחה שמסתו של הגוף הגדול בין השניים אינסופית ביחס למסת הגוף הקטן בין השניים, כמו גם שלגוף הכבד קשיחות אינסופית (כך שההחזרה הופכת תלויה במבנה של הגוף הקל בלבד), ניתן לתאר את מקדם התקומה כמקדם פנימי מאפיין של הגוף לבדו, ללא קשר להתנגשות. מצב כזה מתרחש למשל בהתנגשות של גוף ברצפה. מטרת המודל הבא להעריך את מהירות החזרה u של גוף מורכב כתלות במהירות הפגיעה v ולהעריך את היחס ${\displaystyle e_{COR}=u/v}$.

כקירוב ראשון ניקח מערכת של 2 קפיצים זהים ושתי מסות זהות, מסת כל מסה m וקבוע הקפיץ k לכל קפיץ. אורכו הרפוי של כל קפיץ L, ומשקל הגופים מוזנח בבעיה. המערכת מתנגשת ברצפה במהירות v, כל הנתונים מוצגים באיור. המשוואות הדיפרנציאליות המתארות את תנועת הגופים בזמן הן:

${\displaystyle {\ddot {h_{1}(t)}}=k/m(L-h_{1}(t))+k/m(h_{2}(t)-h_{1}(t)-L)}$

${\displaystyle {\ddot {h_{2}(t)}}=-k/m(h_{2}(t)-h_{1}(t)-L)}$

${\displaystyle h_{1}(t)}$ הוא מיקום המסה התחתונה כפונקציה של הזמן ו-${\displaystyle h_{2}(t)}$ מיקום המסה העליונה בזמן, כאשר כיוון למעלה מוגדר כחיובי.

פתרון המשוואות הדיפרנציאליות:

כדי לפשט את המשוואות ראשית נציג ניסוח חלופי למשוואות באמצעות הצגת הסטייה מנקודות שיווי המשקל בגבהים h=L,2L:

${\displaystyle h_{2}=X_{2}-2L}$ ו-${\displaystyle h_{1}=X_{1}-L}$ ואז המשוואות הדיפרנציאליות הופכות להיות:

${\displaystyle {\ddot {X_{1}(t)}}=-k/mX_{1}(t)+k/m(X_{2}(t)-X_{1}(t))=k/m(X_{2}(t)-2X_{1}(t))}$

${\displaystyle {\ddot {X_{2}(t)}}=-k/m(X_{2}(t)-X_{1}(t))}$

כעת נציג את הבעיה בייצוג מטריציוני ונמצא את אופני התנודה העצמיים. הצבת פתרונות מהצורה: ${\displaystyle X_{1}(t)=A_{1}e^{iwt},X_{2}(t)=A_{2}e^{iwt}}$ מובילה להצגה:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2k-\omega ^{2}m&-k\\+k&\omega ^{2}m-k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$

כדי שלמערכת המשוואות הזאת יהיה פתרון, על הדטרמיננטה שלה להתאפס, מה שמוביל למשוואה ממעלה רביעית:

${\displaystyle (2k-\omega ^{2}m)(\omega ^{2}m-k)+k^{2}=-(\omega ^{2}m)^{2}+3k(\omega ^{2}m)-k^{2}=0}$

ניתן להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית על ידי ההצבה ${\displaystyle t=\omega ^{2}}$ ולקבל את הפתרונות:

${\displaystyle \omega _{1,2}={\sqrt {\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}}\omega _{0}}$

כאשר ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$. נסמן כעת ב-${\displaystyle A_{1},B_{1}}$ את אמפליטודות התנודה של כל אחת מהמסות בתדר העצמי ${\displaystyle \omega _{1}}$, ובאופן דומה נגדיר את ${\displaystyle A_{2},B_{2}}$. האנרגיה הקינטית של מרכז מסה שאבדה בהתנגשות שווה לאנרגיה האלסטית שנאצרה בקפיץ המחבר בין שתי המסות ברגע התנתקות הקפיץ התחתון מהקרקע כלומר, ל-: ${\displaystyle \triangle E_{k}={\frac {1}{2}}k(X_{2}(T)-X_{1}(T))^{2}={\frac {1}{2}}kX_{2}^{2}(T)}$ כאשר ${\displaystyle t=T}$ הוא רגע ההתנתקות. לכן כל שנותר הוא להעריך את האמפליטודות ${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}}$ של המסות.

תנאי ההתחלה הם ${\displaystyle {\dot {X_{1}(0)}}=-V,{\dot {X_{2}(0)}}=-V}$. יחד עם התנאי ${\displaystyle {\ddot {X_{1}(t)}}+{\ddot {X_{2}(t)}}=-k/mX_{1}(t)}$ (תנאי זה מייצג את השוויון בין המתקף שמפעילה הרצפה לשינוי התנע של המערכת), אשר ניתן לרשמו גם כך: ${\displaystyle X_{1}^{(3)}(t)+X_{2}^{(3)}(t)=-k/m{\dot {X_{1}(t)}}=-\omega _{0}^{2}\cdot V}$. על כך נוסף התנאי: ${\displaystyle X_{1}^{(3)}(t)-X_{2}^{(3)}(t)=k/m(2{\dot {X_{2}(t)}}-{\dot {X_{1}(t)}})}$. ארבעת התנאים הללו מאפשרים להרכיב מערכת של 4 משוואות ליניאריות, אשר בתום תהליך חישובי ארוך ניתן להסיק מהן את התוצאה למקדם התקומה: ${\displaystyle e_{COR}=0.417}$. כלומר רוב האנרגיה עוברת לרובד ויברציוני פנימי. זה כמובן לא אומר דבר על ההתנהגות הגבולית של גוף חומרי אמיתי, שכן כדי למדלו צריך לפתור עבור N מסות וקפיצים כאשר N שואף לאינסוף.

עבור מערך של N מסות וקפיצים נקבל N משוואות דיפרנציאליות מצומדות עבור כל אחת מהתאוצות של המסות. כאשר ${\displaystyle i<N}$ מתקיים עבור המסה ה-i (המסות ממוספרות מלמטה למעלה):

${\displaystyle {\ddot {X}}_{i}(t)=-(X_{i}(t)-X_{i-1}(t))k/m+k/m(X_{i+1}(t)-X_{i}(t))=k/m(X_{i+1}(t)+X_{i-1}(t)-2X_{i}(t))}$

ואילו עבור המסה העליונה (שמספרה N) מתקיים:

${\displaystyle {\ddot {X}}_{N}(t)=-(X_{N}(t)-X_{N-1}(t))k/m}$

אם נסמן ${\displaystyle k/m=\omega _{0}^{2}}$ בניסוח מטריציוני נקבל שהנגזרת הזמנית השנייה של ווקטור המצב ${\displaystyle (X_{1}(t),X_{2}(t),...,X_{N}(t))}$ שווה למכפלה שלו במטריצה מסוימת:

${\displaystyle d^{2}(X_{1}(t),X_{2}(t),...,X_{N}(t))/dt^{2}={\begin{bmatrix}-2\omega _{0}^{2}&\omega _{0}^{2}&0&\cdots &0\\\omega _{0}^{2}&-2\omega _{0}^{2}&\omega _{0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots -\omega _{0}^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}(t)\\X_{2}(t)\\\vdots \\X_{N}(t)\end{pmatrix}}}$

התדירויות הטבעיות ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...\omega _{N}}$ של המערכת בגבול שבו N שואף לאינסוף, הן למעשה הערכים העצמיים של המטריצה האינסופית הזאת (הערך העצמי ${\displaystyle \lambda _{i}}$ למעשה שווה לריבוע התדירות הטבעית שמתאימה לו: ${\displaystyle \omega _{i}^{2}}$). מכאן, התגובה של גוף להתנגשות (מידת ספיגת האנרגיה שלו) תלויה בהתנהגות האסימפטוטית של הערכים העצמיים של מטריצות אינסופיות בעלת התבנית הזאת.

הפיתוח לעיל מניח התנגשות על משטח קשיח באופן אינסופי (perfectly rigid), כלומר משטח שקבוע הקפיץ שלו הוא אינסוף. אולם התוצאות בפועל של מקדם התקומה שונות באופן משמעותי. ניתן להסביר הבדל זה על ידי כך שמייחסים קבוע קפיץ ${\displaystyle \beta \cdot k}$ לקפיץ החיצוני למערכת הקפיצים והמסות (הקפיץ התחתון באיור) באופן שמשקלל גם את קבוע הקפיץ של המשטח שלוקח חלק בהתנגשות כלומר כך ש-: ${\displaystyle {\frac {1}{\beta \cdot k}}={\frac {1}{k_{s}}}+{\frac {1}{k}}}$ (חיבור קפיצים בטור). ניתן להסתכל על המודל כעת כעל הבעיה של אוסצילטור הרמוני מאולץ - למערכת הקפיצים והמסות הפנימית יש תדירות תנודה פנימית טבעית מסוימת בעוד פועל עליה כוח מאלץ (F(t על ידי הקפיץ החיצוני. תוצאות ניסוייות מראות שלגרף של מקדם התקומה כתלות ב- ${\displaystyle \beta }$ יש מינימום בנקודה מסוימת. ההסבר לכך נעוץ בתופעת התהודה - כאשר תדירות הכוח המאלץ תואמת את תדירות התנודה הטבעית הפנימית של המערכת נוצר "רזוננס" בין הכוח המאלץ למערכת - והמערכת סופגת יותר אנרגיה, כך שרק מעט מהאנרגיה "נשארת" למרכז המסה - רובה עובר לרובד פנימי של הגוף, כלומר לתנודות פנימיות.

• מאמר שמסביר את קיומו של מקדם תקומה באמצעות מערכת קפיצים ומסות מופיע פה.