מישה מייסקי נולד בריגה, לטביה, ב-1948, למשפחה של מוזיקאים. בילדותו היה חבר לבית הספר בריגה עם רקדן הבלט מיכאיל ברישניקוב. מגיל 8 התחיל ללמוד צ'לו ואחרי לימודים בבית ספר למוזיקה נרשם לקונסרבטוריון של ריגה. אחיו ולרי למד נגינה בפסנתר ואחותו -נגינה בכינור. החל משנת 1962 עבר ללמוד בקונסרבטוריון של לנינגרד והחל מ-1963 בקונסרבטוריון של מוסקבה אצל מסטיסלב רוסטרופוביץ' .
מגיל הנעורים בנה מייסקי קריירה במסעות קונצרטים ברחבי ברית המועצות. בשנת 1965 זכה בפרס ראשון בתחרות על-סובייטית לנגינה וב-1966 בתחרות הבינלאומית צ'ייקובסקי במוסקבה.
אחרי עלייתה לישראל של אחותו, לינה יאקובסון בשנת 1969, לא הורשה מייסקי לצאת מחוץ לברית המועצות בגלל חשש השלטונות שיעזוב את המדינה. לאחר מכן התחיל לסבול מהצקות ונלקחה ממנו מלגת הלימודים. בשנת 1970 אחרי שנתפס קונה טייפ ללא רשות מחנות המיוחדת שנועדה רק לנומנקלטורה נתפר לו תיק פלילי והושלך לכלא למשך 4 חדשים, ואחר כך ריצה 14 חדשים עבודות כפייה במחנה עבודות[1] בעיר דזרז'ינסק באזור גורקי.
אחרי שחרורו על מנת להימנע מגיוסו לצבא הסובייטי התאשפז לחודשיים בבית חולים פסיכיאטרי במוסקבה. שם למד יוגה ומדיטציה. אחרי שנתיים של השבתה מנגינה חזר בהצלחה לאמנותו האהובה.[1] ב-8 בנובמבר1972 הצליח לעזוב את ברית המועצות ולעלות לישראל בעזרת התערבותו של ראש עיריית ירושלים, טדי קולק ואיש עסקים יהודי אמריקאי ששילם את הכופר (20,000 דולר) שנדרש כפיצוי על הלימודים על ידי השלטונות הסובייטיים.[1]
