בטופולוגיה, כיסוי האוריינטציות של יריעה הוא מרחב כיסוי של היריעה שאפשר להפוך גם לאגד או לאלומה. באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר כפלי של החבורה היסודית ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ המודד באיזו מידה היריעה אינה אוריינטבילית. קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

ערך מורחב – אוריינטציה

אוריינטציה היא מבנה מופשט שניתן (לעיתים) להגדיר על יריעה. לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית (Orientability). על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב-${\displaystyle o}$ אז את השנייה מסמנים ב-${\displaystyle -o}$. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).

המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

כיסוי האוריינטציות מבוסס על מושג האוריינטציה בנקודה. תהי ${\displaystyle M}$ יריעה חלקה. ו-${\displaystyle x}$ נקודה עליה. אוריינטציה של ${\displaystyle M}$ ב-${\displaystyle x}$ מוגדרת בתור אוריינטציה על המרחב המשיק ${\displaystyle .T_{x}M}$ באופן כללי יותר אם ${\displaystyle M}$ יריעה טופולוגית אז אוריינטציה של ${\displaystyle M}$ ב-${\displaystyle x}$ מוגדרת בתור יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית ${\displaystyle .H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )}$

נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה ${\displaystyle x}$ ב-${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}(x)}$ (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי ${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}}$ באופן הבא:

כאשר הטופולוגיה על ${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}}$ מוגדרת מקומית על ידי זיהוי של סביבה פתוחה ${\displaystyle U\subset M}$ עם ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ודרכה זיהוי של ${\displaystyle \operatorname {orient} _{U}}$ עם ${\displaystyle U\times \{1,-1\}}$. קל לראות שהטופולוגיה המתקבלת על ${\displaystyle orient_{U}}$ אינה תלויה בזיהוי.

המרחב ${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}}$ מצייד בהעתקה טבעית

${\displaystyle \,p:\operatorname {orient} _{M}\to M}$

ולפי הבנייה, העתקה זו היא כיסוי. הזוג ${\displaystyle (\operatorname {orient} _{M},p)}$ נקרא כיסוי האוריינטציות, זהו כיסוי דו-יריעתי.

כיסוי האוריינטציות הוא טריוויאלי (זאת אומרת איזומורפי ל-${\displaystyle M\times \{1,-1\}}$) אם ורק אם ${\displaystyle M}$ אוריינטבילית. אם ${\displaystyle M}$ קשירה אז כיסוי האוריינטציות קשיר אם ורק אם ${\displaystyle M}$ לא אוריינטבילית. ניתן להראת כי בחירת חתך (Section) רציף של כיסוי האוריינטציות שקול לבחירת אוריינטציה.

החבורה ${\displaystyle S_{2}=\{1,-1\}}$ פועלת על הסיבים (Fiber) של כיסוי האוריינטציות באופן חופשי^[1] וטרנזיטיבי. כיסוי עם פעולה כזאת נקרא ${\displaystyle S_{2}}$-טורסור.

המרחב המכסה ${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}}$ הוא תמיד אוריינטבילי. יתר על כן, מרחב זה מצויד באוריינטציה טבעית^[2]

מאידך, אם ${\displaystyle M}$ יריעה קשירה לא אוריינטבלית ו-${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ כיסוי דו-יריעתי אוריינטבילי שלה, אז הכיסוי ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi )}$ איזומורפי לכיסוי האוריינטציות.

יריעה לא אוריינטבילית	כיסוי האוריינטציות שלה
מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי	ספירה מאותו ממד
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים משטח (קשיר) לא אוריינטבילי ${\displaystyle \Sigma '_{n+1}}$ מגנוס ${\displaystyle {n+1}}$. ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר (Connected sum) ${\displaystyle \Sigma '_{n+1}={\underset {{n+1}{\text{ copies }}}{\underbrace {\mathbb {RP} ^{2}\#\dots \#\mathbb {RP} ^{2}} }}}$ כאשר ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ הוא המישור הפרויקטיבי.	משטח (קשיר) אוריינטבילי ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ מגנוס ${\displaystyle n}$. המשטח נראה כספירה שחיברו אליה ${\displaystyle n}$ ידיות. לחלופין ניתן לתאר אותו בתור ${\displaystyle \Sigma _{n}=S^{2}\#{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {T^{2}\#\dots \#T^{2}} }}}$ כאשר ${\displaystyle S^{2}}$ היא הסיפרה ו${\displaystyle T^{2}}$ הוא הטורוס.

ערך מורחב – קרקטר האוריינטציות

נקבע נקודה ${\displaystyle x\in M}$. אנו מקבלים פעולת מונודרומיה (Monodromy) של החבורה היסודית ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ על הסיב של ${\displaystyle \operatorname {orient} _{M}}$. פעולה זו מגדירה קרקטר כפלי, $${\displaystyle \chi :\pi _{1}(M)\to \{1,-1\}.}$$

קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. הוא שולח כל (מחלקה של) מסילה סגורה אל ${\displaystyle 1}$ אם היא שומרת על האוריינטציה, ואל ${\displaystyle -1}$ אחרת. יריעה קשירה ${\displaystyle M}$ היא אוריינטבלית אם ורק אם קרקטר האוריינטציות שלה טריוויאלי, כלומר כל איבר של החבורה היסודית (ואף של ההומולוגיה הראשונה של היריעה) שומר על האוריינטציה.

את כיסוי האוריינטציות ${\displaystyle orient_{M}}$ ניתן להפוך לאגד האוריינטציות ${\displaystyle Orient_{M}}$. באופן אינטואיטיבי הסיב של ${\displaystyle Orient_{M}}$ בנקודה ${\displaystyle ,x\in M}$ הוא ישר העובר דרך שתי הנקודות של ${\displaystyle .orient_{M}(x)}$ באופן פורמלי ${\displaystyle Orient_{M}}$ מוגדר להיות מרחב המנה של ${\displaystyle orient_{M}\times \mathbb {R} }$ תחת יחס השקילות הבא: ${\displaystyle .((x,o),r)\sim ((x,-o),-r)}$^[4] זהו אגד קווי.

קיים איזומורפיזם קנוני בין ${\displaystyle Oreint_{M}\otimes Oreint_{M}}$ לאגד הטריוויאלי. במילים אחרות ${\displaystyle Oreint_{M}\cong Oreint_{M}^{*}}$.

לבניה זאת יש גם גרסה ליניארית: עבור מרחב ליניארי ${\displaystyle V}$ ניתן להגדיר את ישר האוריינטציות עליו ${\displaystyle Orient(V)}$. זהו מרחב ליניארי חד־ממדי שקבוצת האוריינטציות על ${\displaystyle V}$ היא תת-קבוצה בתוכו. התכונות של אגד האוריינטציות מתקיימות גם עבור ישר האוריינטציות.

באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תבנית בתור נפח מכוון (זאת אומרת נפח עם סימן). לדוגמה אם ${\displaystyle \omega }$ היא התבנית הסטנדרטית על ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ אז ${\displaystyle |\omega (v_{1},\dots ,v_{n})|}$ הוא הנפח של המקבילון הנפרס על ידי ${\displaystyle .\{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$ אולם ${\displaystyle \omega (v_{1},\dots ,v_{n})}$ לאו דווקא חיובי. אפשר לחשוב על אוריינטציה בתור זיקוק הסימן מהתבנית. באופן דומה אפשר להגדיר את מושג הצפיפות^[5] שהוא זיקוק הנפח מהתבנית.

את אגד הצפיפויות ניתן להגדיר בעזרת אגד האוריינטציות: $${\displaystyle ,D_{M}:=\Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}^{*}=\Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}}$$ כאשר ${\displaystyle \Omega _{M}^{top}}$ הוא אגד התבניות הדיפרנציאליות.

מכאן אנו מקבלים את הפירוק:

${\displaystyle .\Omega _{M}^{top}=D_{M}\otimes Orient_{M}^{*}}$

ניתן להפוך את הפירוק הזה למפורש יותר באופן הבא: תהי ${\displaystyle \omega \in \Omega _{M}^{top}(M)}$ תבנית דיפרנציאלית הפיכה. נסמן ב-${\displaystyle sign(\omega )}$ את האוריינטציה המתאימה. ניתן לחשוב על ${\displaystyle sign(\omega )}$ כעל חתך של ${\displaystyle orient_{M}}$ או לחלופין של ${\displaystyle Orient_{M}}$. נסמן $${\displaystyle |\omega |=\omega \times sign(\omega )\in \Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}(M)=D_{M}(M).}$$ אנו מקבלים $${\displaystyle \omega =sign(\omega )|\omega |}$$ במילים אחרות, ניתן לחשוב על תבנית דיפרנציאלית הפיכה בתור שילוב של האוריינטציה (הסימן של התבנית) וצפיפות (הערך המוחלט של התבנית). אינטואיטיבית, צפיפות היא אפשרות להגדיר נפח. להבדיל מתבניות דיפרנציאליות, ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות גם ללא בחירת אוריינטציה. מכאן, צפיפות מגדירה מידה (לאו-דווקא חיובית). למעשה מושגים אלה כמעט שקולים.

בדומה לתבניות ולאוריינטציות, גם צפיפויות ניתן להגדיר עבור מרחב ליניארי וגם שם מתקיים אותו הפירוק. במקרה הליניארי ניתן לחשוב על שלושת האובייקטים האלה כעל פונקציות על קבוצת הבסיסים ${\displaystyle .{\mathcal {B}}}$

תהי ${\displaystyle .f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f}$ היא תבנית אם לכל שני בסיסים ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}}$ מתקיים ${\displaystyle f(b_{1})=\det(M_{b_{1}}^{b_{2}})f(b_{2})}$ כאשר ${\displaystyle M_{b_{1}}^{b_{2}}}$ היא מטריצת המעבר בין הבסיסים.
• ${\displaystyle f}$ היא איבר בישר האוריינטציות אם לכל ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}}$ מתקיים ${\displaystyle .f(b_{1})=sign(\det(M_{b_{1}}^{b_{2}}))f(b_{2})}$ ${\displaystyle f}$ היא אוריינטציה ממש אם בנוסף ערכיה הם ±1.
• ${\displaystyle f}$ היא צפיפות אם לכל ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}}$ מתקיים ${\displaystyle .f(b_{1})=|\det(M_{b_{1}}^{b_{2}})|f(b_{2})}$

תיאור זה מסביר את הפירוק למעלה. כמו כן אפשר להבין מתיאור זה מדוע ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות ולא של תבנית, לאור העבדה שבנוסחת החלפת המשתנים של אינטגרל מרובה, מופיע הערך המוחלט של היעקוביאן ולא היעקוביאן עצמו.

את כיסוי האוריינטציות ${\displaystyle orient_{M}}$ ניתן גם להפוך לאלומת האוריינטציות ${\displaystyle ,{\mathcal {O}}rient_{M}}$ באופן דומה לבניית אגד האוריינטציות. עבור קבוצה פתוחה קשירה ${\displaystyle U\subset M}$ נגדיר $${\displaystyle {\mathcal {O}}rient_{M}(U):=(orient(U)\times \mathbb {Z} )/S_{2},}$$ כאשר ${\displaystyle orient(U)}$ היא קבוצת האוריינטציות על ${\displaystyle M}$ והפעולה של ${\displaystyle S_{2}}$ היא אלכסונית. בעזרת אקסיומות האלומה ניתן להכליל הגדרה זאת לקבוצות פתוחות כלליות.

אלומת האוריינטציות היא אלומה קבועה מקומית (Local property). הרחבת סקלרים (Extension of scalars) של אלומה זו ל-${\displaystyle \mathbb {R} }$ היא אלומה קבועה מקומית של מרחבים ליניאריים, במילים אחרות מערכת מקומית (Local system). הגדרה שקולה של מערכת מקומית היא – אגד עם קישוריות (Connection) שטוחה. כך אנו מקבלים אגד עם קישוריות שמתאים לאלומת האוריינטציות. אגד זה איזומורפי קנונית לאגד האוריינטציות. מכאן שקיבלנו קישוריות שטוחה על אגד האוריינטציות.

אלומת האוריינטציות היא מקרה פרטי של מושג הקומפלקס המדאל (dualizing complex). לכל מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ (קומפקטי מקומית) ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל. זהו אובייקט בקטגוריה הנגזרת (Derived category) של האלומות על ${\displaystyle .X}$ אם ${\displaystyle X}$ היא יריעה אז האובייקט המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת למקום ה-${\displaystyle .n:=\dim(X)}$

• Orientation covering, ב-Manifold Atlas (באנגלית)