טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

• הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \,}$).
• הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות ${\displaystyle a',b',c'\,}$).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : ${\displaystyle a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,}$ ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ${\displaystyle \ a}$ ו-${\displaystyle \ b}$, ואורך היתר הוא ${\displaystyle \ c}$, אז ${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: ${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)}$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה ${\displaystyle \cos {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...}$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: ${\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)}$.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם ${\displaystyle 2R^{2}\,}$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$ את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: ${\displaystyle B(R,0,0)\,}$ , ${\displaystyle C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,}$, ${\displaystyle A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,}$.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: ${\displaystyle \cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b')}$.

הצבת השוויונות: ${\displaystyle a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,}$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right)}$.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה ${\displaystyle \gamma =90^{0}}$.

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן ${\displaystyle \ a,b,c}$ והזוויות שמולן הן ${\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma }$ בהתאמה, מתקיים: ${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }}$.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: ${\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {a}{R}}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac {b}{R}}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac {c}{R}}}{\sin \gamma }}}$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה ${\displaystyle \sin {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,}$.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$  : ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {a}{R}}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac {b}{R}}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac {c}{R}}+...}{\sin \gamma }}}$.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }}$.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי ${\displaystyle AF\perp OC}$, ${\displaystyle AE\perp OB}$ וגם ${\displaystyle \angle {AED}=\beta }$, ${\displaystyle \angle {AFC}=\gamma }$.

במשולש AED מתקיים: ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}}}$ ובמשולש AFD מתקיים: ${\displaystyle \sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}}$ ולכן ${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}}$.

במשולש AOE מתקיים: ${\displaystyle \sin {c'}={\tfrac {AE}{R}}}$ ובמשולש AOF מתקיים: ${\displaystyle \sin {b'}={\tfrac {AF}{R}}}$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: ${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}}}$, כלומר:${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {\frac {b}{R}}}{\sin {\frac {c}{R}}}}}$.

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן ${\displaystyle \ a,b,c}$ והזוויות שמולן הן ${\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma }$ בהתאמה, מתקיים: ${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: ${\displaystyle \,\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma }$.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: ${\displaystyle \,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac {c}{R}}}$).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות ${\displaystyle \cos {\alpha },\sin {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...}$, ${\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,}$.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: ${\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right)}$.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם ${\displaystyle 2R^{2}\,}$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$ את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: ${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$.

מכפלת סינוס וקוסינוס	${\displaystyle \,\sin a'\cdot \cos \beta =\cos b'\cdot \sin c'-\sin b'\cdot \cos c'\cdot \cos \alpha }$
מכפלת סינוס וקוטנגנס	${\displaystyle \,\sin \alpha \cdot \cot \beta =\cot b'\cdot \sin c'-\cos c'\cdot \cos \alpha }$
משפט הטנגסים	${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {a'+b'}{2}}}{\tan {\frac {a'-b'}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$
נוסחאות נפייר	${\displaystyle \tan {\frac {a'+b'}{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\tan {\frac {c'}{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {a'+b'}{2}}=\cot {\frac {\gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {a'-b'}{2}}}$ ${\displaystyle \tan {\frac {a'-b'}{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\tan {\frac {c'}{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {a'+b'}{2}}=\cot {\frac {\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {a'-b'}{2}}}$
נוסחאות דלאמבר	${\displaystyle \sin {\frac {a'+b'}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {c'}{2}}}$ ${\displaystyle \sin {\frac {a'-b'}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}=\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {c'}{2}}}$
חצי זווית (סימון: ${\displaystyle s={\frac {a'+b'+c'}{2}}}$).	${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s)\cdot \sin(s-a')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}$ ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin s\cdot \sin(s-a')}}}}$
חצי צלע (סימון: ${\displaystyle \sigma ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}$ ).	${\displaystyle \sin {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}$ ${\displaystyle \tan {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}}}}$

מדיה וקבצים בנושא טריגונומטריה ספירית בוויקישיתוף

• טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)
• טריגונומטריה ספרית, דף שער בספרייה הלאומית