גליצנשטיין נולד בטורק, פולין. הוא נקרא על שם חנוך הנדריק גליצנשטיין[1]. אביו היה מורה וכן בונה מצבות[2]. בהתחלה הביע התעניינות להיות רב. באותו זמן הוא חי בלודז' ועבד כצבע שלטים וגילף בעץ[3]. לאחר שלמד במינכן באקדמיה הבווארית המלכותית לאמנות, התחתן ב-1896 עם הלנה הירשנברג, אחותו של שמואל הירשנברג. הזוג התגורר ברומא שם הוא אימץ לעצמו את השם אנריקו. בנו, עמנואל גליצן רומנו, נולד ברומא[4] וקיבל אזרחות איטלקית[2].
מוזיאון גליצנשטיין הוקם בישראל בעיר צפת[2]. ב-1985 הוא הפך להיות מוזיאון התנ"ך הישראלי ורבים מפסליו של גליצנשטין עדיין מוצגים שם[5]. ב-2006 הועברו התמונות והפסלים של גליצנשטיין מצפת למשכן לאמנות בעין חרוד, לאחר שאוחסנו במשך מספר שנים במחסן בצפת ללא טיפול מתאים ונזקקו לרסטורציה. ב- 2008 הועמד סגן ראש העיר לדין על גנבת ציורים שהיו באחסון בזמן שמוזיאון גליצנשטיין שינה את תפקידו[6]