בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות ${\displaystyle M_{9},M_{10},M_{11},M_{12}}$ ו-${\displaystyle M_{21},M_{22},M_{23},M_{24}}$, שמהן ${\displaystyle M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}}$ הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם ${\displaystyle M_{21}}$ פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{3}(\mathbb {F} _{4})}$). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.

החבורה ${\displaystyle M_{10}}$ היא תת-חבורה מאינדקס 2 של ${\displaystyle PGL_{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle \phi \rangle }$, כאשר ${\displaystyle \phi }$ הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {F} _{9})}$ ו-${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle {\phi }\rangle }$), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty \}}$. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל-${\displaystyle M_{10}}$ את התמורה ${\displaystyle (\omega \infty )(\lambda \mapsto \pi ^{2}\lambda +\pi \phi (\lambda ))}$, כאשר ${\displaystyle \pi }$ יוצר של השדה מסדר 9, המקיים ${\displaystyle \pi ^{2}+\pi =1}$, מתקבלת החבורה ${\displaystyle M_{11}}$, שפעולתה על ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega \}}$ היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר ${\displaystyle S(4,5,11)}$, שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה ${\displaystyle (\omega \Omega )\circ \phi }$, מתקבלת החבורה ${\displaystyle M_{12}}$, שפעולתה על ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega ,\Omega \}}$ היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר ${\displaystyle S(5,6,12)}$, היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה ${\displaystyle PSL_{3}(\mathbb {F} _{4})}$ פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת ${\displaystyle M_{22}}$. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר ${\displaystyle S(3,6,22)}$. החבורה ${\displaystyle M_{22}}$ מוכלת בחבורה ${\displaystyle M_{23}}$ הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא ${\displaystyle M_{22}}$ (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle S(4,7,23)}$; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים ${\displaystyle M_{24}}$ של המערכת ${\displaystyle S(5,8,24)}$ פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-${\displaystyle \ M_{23}}$.

מדיה וקבצים בנושא חבורות מתיו בוויקישיתוף