אליצדק נולד בשנת 1884 באולקניקי, פלך וילנה שבליטא (אז האימפריה הרוסית) כבן שני ליהודה ליב קלוזנר (מצאצאי הרב אברהם קלוזנר) ולראשה קיילה (מצאצאי הרב אלכסנדר זיסקינד מהורודנה). אחיו הבכור הוא ההיסטוריון יוסף גדליהו קלוזנר, ואחיו הקטן הוא אלכסנדר זיסקינד קלוזנר, סבו של הסופר עמוס עוז.
בבגרותו למד תורה בחדר ובישיבה שפעלה בעיר האוקראינית אודסה. ובמקביל לקח קורסים פרטיים בספרות ומדעים. לפרנסתו עבד כמורה לעברית. וכיהן כיו"ר אגודה ציונית בעיר לנציצה שבפולין.
בשנת 1926 נשא לאישה את חיה קיפניס (אחותו של לוין קיפניס). בנם הוא מייסד "קבוצת יפעת" אריאל אליצדק ונכדם הוא יואב אליצדק מייסד חברת "ארגוס מידע קטעי עיתונות".
אליצדק תרגם לעברית חלק מן הנוסח הרוסי של הספר "Państwo Żydowskie" (מדינה עברית). המהדורה העברית של הספר, שיצאה לאור באמצע שנת 1937, תורגמה על ידי יהושע השל.
כתב מאמרים בעיתונים וכתבי עת רבים ובהם: "השילוח", (בעריכת אחיו), ב"הישוב", ב"המטרה", ב"חדשות" (של בן-ציון כ"ץ), ב"קולות" (ירחון ספרותי שיצא בוורשה בשנים 1924-1923)[1], ואחר כך כחבר במערכת העיתונים היומיים הרוויזיוניסטיים "העם", "דאר היום" (בעת היותו עיתון הצה"ר), ב"הירדן", בין השאר, כתב שם כי המשפט שנערך בעקבות רצח ארלוזורוב הוא שהביא למותו של נתן מיליקובסקי[2]. וכן כתב ב"המשקיף", ועוד בעיתונים שונים.
בצלאל נפטר בספטמבר 1973 בירושלים. כתביו הונגשו על ידי נכדיו בפרויקט בן-יהודה.[3]
