En matemáticas, unha serie alternada (ou alterna) é unha serie infinita de termos que alternan entre signos positivos e negativos. En notación capital-sigma isto exprésase

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ ou

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$ con a_n > 0 para todos os n.

Como calquera serie, unha serie alterna é unha serie converxente se e só se a secuencia de sumas parciais da serie converxe a un límite. O test de series alternadas garante que unha serie alterna é converxente se os termos a_n converxen a 0 de forma monótona, esta condición é suficiente mais pode non ser necesaria para a converxencia.

A serie xeométrica 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ suma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$.

A serie harmónica alterna ten unha suma finita mais a serie harmónica non.

A serie

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ converxe a ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$, mais non é absolutamente converxente.

A serie de Mercator proporciona unha expresión en serie de potencias analíticas do logaritmo natural, dada por

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$

As funcións seno e coseno usadas en trigonometría e introducidas na álxebra elemental como a razón de lados dun triángulo rectángulo tamén se poden definir como series alternas no cálculo.

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ e

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$

Cando se elimina o factor alternante (–1)ⁿ destas series obtéñense as funcións hiperbólicas sinh e cosh utilizadas en cálculo e estatística.

Para o índice enteiro ou positivo α a función de Bessel do primeiro tipo pódese definir coa serie alterna

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$ onde Γ(z) é a función gamma.

Se s é un número complexo, a función eta de Dirichlet fórmase como unha serie alternada

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

que se usa na teoría analítica de números.

O teorema coñecido como "Test de Leibniz" ou test de series alternadas afirma que unha serie alternada converxerá se os termos a_n converxen a 0 de forma monótona.

Proba: supoña que a secuencia ${\displaystyle a_{n}}$ converxe a cero e é monótona decrecente. Se ${\displaystyle m}$ é impar e ${\displaystyle m<n}$, obtemos a estimación ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ mediante o seguinte cálculo:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$

Posto que ${\displaystyle a_{n}}$ é monótonamente decrecente, os termos ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ son negativos. Así, temos a desigualdade final: ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$. Do mesmo xeito, pódese demostrar que ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$. Posto que ${\displaystyle a_{m}}$ converxe a ${\displaystyle 0}$, as sumas parciais ${\displaystyle S_{m}}$ forman unha secuencia de Cauchy (é dicir, a serie cumpre o criterio de Cauchy) e polo tanto converxen. O argumento para ${\displaystyle m}$ par é semellante.

Unha serie ${\textstyle \sum a_{n}}$ converxe absolutamente se a serie ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ converxe.

Teorema: as series absolutamente converxentes son converxentes.

Unha serie é condicionalmente converxente se converxe mais non converxe absolutamente.

Por exemplo, a serie harmónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$ diverxe, mentres que a versión alterna

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$ converxe, que se pode porbar polo test de series alternas.

Para calquera serie, podemos crear unha nova serie reorganizando a orde de suma. Unha serie é converxente incondicionalmente se calquera reordenación crea unha serie coa mesma converxencia que a serie orixinal. As series absolutamente converxentes son incondicionalmente converxentes. Mais o teorema das series de Riemann afirma que as series condicionalmente converxentes poden ser reordenadas para crear unha converxencia arbitraria.^[1] O teorema de Agnew describe os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series converxentes. O principio xeral é que a suma de sumas infinitas só é conmutativa para series absolutamente converxentes.

Por exemplo, unha proba falsa de que 1=0 utiliza o fallo da asociatividade para sumas infinitas.

Outro exemplo: a serie de Mercator : ${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$

Mais, como a serie non converxe absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter unha serie ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$

Na práctica, a suma numérica dunha serie alternada pode acelerarse usando calquera das diversas técnicas de aceleración de series. Unha das técnicas máis antigas é a da suma de Euler, e hai moitas técnicas modernas que poden ofrecer unha converxencia aínda máis rápida.

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.

• serie de Grandi
• Integral de Nörlund–Rice

• Weisstein, Eric W. "Alternating Series". MathWorld.