En teoría de conxuntos e álxebra a noción de relación de equivalencia sobre un conxunto, permite establecer unha relación entre os elementos do conxunto que comparten certa característica ou propiedade. Isto permite agrupar devanditos elementos en clases de equivalencia, é dicir, «paquetes» de elementos similares. Isto posibilita a construción de novos conxuntos engadindo todos os elementos dunha mesma clase como un só elemento que os representará e que define a noción de conxunto cociente.
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por Si na columna "Simétrica" e Non na columna "Antisimétrica".
Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea sexa transitiva: para todo se e entón
Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.
Definición
Sexa un conxunto dado non baleiro e unha relación binaria definida sobre . Dise que é unha relación de equivalencia se cumpre as seguintes propiedades:
Reflexividade: Todo elemento de está relacionado consigo mesmo. É dicir,
.
Simetría: Se un elemento de está relacionado con outro, entón esoutro elemento tamén se relaciona co primeiro. É dicir,
.
Transitividade: Se un elemento de está relacionado con outro, e esoutro á súa vez relaciónase cun terceiro, entón o primeiro estará relacionado tamén con este último. É dicir,
.
Notación:
En aritmética modular a relación de equivalencia entre dous elementos x e y denótase x ≡ y (mod R) que se le "x é equivalente a ymóduloR".
Unha relación de equivalencia sobre un corpo pode denotarse co par .
Dado un elemento , o conxunto dado por todos os elementos relacionados con definen a clase
,
que se chama a clase de equivalencia asociada ao elemento .
O elemento chámase representante da clase.
Chámase orde ao número de clases que xera unha relación de equivalencia; se é finito, dise que a relación é de orde finito.
O concepto de clase de equivalencia ten importancia en ciencia; dado un conxunto de obxectos ou entidades abstractas (potencialmente infinitas), poden establecerse relacións de equivalencia sobre a base dalgún criterio, as clases resultantes son os "tipos" nos que se pode clasificar toda a gama de obxectos.
Conxunto cociente
Ao conxunto de todas as clases de equivalencia denomínase conxunto cociente e adóitase denotalo como
ou
Partición
Unha relación de equivalencia sobre un conxunto induce unha partición do mesmo, é dicir, un conxunto no que se definiu unha relación de equivalencia pode ser dividido en varios subconxuntos de elementos equivalentes entre si e tales que a reunión deses subconxuntos coincide co conxunto enteiro. O seguinte teorema expresa en termos máis formais esa mesma idea:
Proposición: Unha relación de equivalencia no conxunto non baleiro K determina unha partición deste, e toda partición de K determina unha relación de equivalencia neste.
A partición ten como elementos as clases de equivalencia. Estas son disxuntas dúas a dúas e a unión delas é igual ao conxunto .
para calquera par non relacionados tense: ;
a unión de todos integra o total:
Exemplos
Sexa N= {0,1,2, 3...}. Defínese unha relación de equivalencia en N×N, como segue: se e só se. Esta é unha relación de equivalencia en N×N e cada clase de equivalencia é un número enteiro. a chámase representante canónico e denótase, simplificadamente, 2.
A relación de congruencia módulo M no conxunto dos números enteiros (i.e. ), onde se define: se e só se é múltiplo de M.
Esta relación é de equivalencia porque:
É reflexiva: , que é múltiplo de M.
É simétrica: se é múltiplo de M, entón tamén é múltiplo de M.
É transitiva: sexan e números enteiros tales que e . Entón, e polo tanto un múltiplo de M.
Sexa H un subgrupo dun grupo de G. Definindo para elementos do grupo se e só se , teremos a relación de equivalencia camada congruencia módulo H.
Definindo, para elementos do grupo, se e só se existe g en G tal que , chámase relación de conxugación e as súas clases de equivalencia reciben o nome de clase de conxugación.
Véxase tamén
Bibliografía
James R.Munkres, Topología, (2002), Prentice Hall.