En xeometría, o paralelismo é unha relación que se establece entre calquera variedade linear de dimensión maior ou igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos…). No plano cartesiano dúas rectas son paralelas se teñen a mesma pendente ou son perpendiculares a un dos eixes, por exemplo a función constante.

En xeometría afín, expresando unha variedade linear como V = p + E, con p punto e E espazo vectorial, dise que A = a + F é paralela a B = b + G se e só se F está contido en G ou G está contido en F, onde A e B son subvariedades lineares da mesma variedade linear V e F e G son subespazos vectoriales do mesmo espazo vectorial E. No plano (afín) (V = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), tradúcese do seguinte xeito: dúas rectas son paralelas se teñen un mesmo vector director.

Nun espazo afín tridimensional, unha recta e un plano poden ser paralelos, e a coincidencia de variedades lineares é un caso particular de paralelismo. Así, dúas rectas, contidas nun plano, son paralelas se son a mesma recta (rectas coincidentes) ou, polo contrario, non comparten ningún punto.

De xeito análogo, no espazo, dous planos son paralelos se son o mesmo plano ou se non comparten ningunha recta.

Dúas rectas son paralelas se os seus vectores directores son paralelos, é dicir, se son linearmente dependentes.

Tamén se denominan así aqueles pares de liñas que nunca se unen ou cruzan.

O axioma que distingue a xeometría euclidiana doutras xeometrías é o seguinte:

Nun plano, por un punto exterior a unha recta pasa unha e só unha paralela a esa recta.

Dado o conxunto P de rectas no plano, podemos definir a relación binaria: ${\displaystyle \parallel }$ que representamos do seguinte modo:

${\displaystyle a\parallel b\quad ,\quad \parallel (a,b)\quad ,\quad (a,b)\in \parallel }$

Sendo a, b, c rectas no plano P, cúmprese:

• Reflexiva: Toda recta é paralela a ela mesma:

${\displaystyle \forall a\in P:\quad a\parallel a}$

• Simétrica: se unha recta é paralela a outra, aquela é paralela á primeira:

${\displaystyle \forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a}$

Estas dúas propiedades dedúcense da intersección de conxuntos e non dependen do axioma de unicidade.

• Transitiva: se unha recta é paralela a outra, e esta á súa vez é paralela a unha terceira, a primeira é paralela á terceira:

${\displaystyle \forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c}$

Polo tanto a relación de paralelismo entre rectas do plano é unha relación de equivalencia. Estas mesmas propiedades pódense comprobar no conxunto de planos paralelos no espazo.

• Nun plano, dúas rectas perpendiculares a unha terceira son paralelas entre elas.
• Nun plano, se unha recta corta outra recta, entón corta todas as paralelas desta.

As demostracións destes dous teoremas e da terceira propiedade empregan o axioma de unicidade.

• Perpendicularidade
• Quinto postulado de Euclides
• Ángulos entre paralelas
• Rectas paralelas cortadas por unha secante

• Coxeter, H. S. M. (1961): Introduction to Geometry. Nova York: Wiley.
• Dieste, R. (1956): Nuevo tratado del paralelismo. Buenos Aires: Ed. Atlántida.
• Norden, A. P. (1958): Elementare Einführung in die Lobatschewskische Geometrie. Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.
• Santaló, L. (1961): Geometrías no euclidianas. Buenos Aires: EUDEBA.

• Paralelismo en MathWorld (en inglés)