En lóxica e matemática, unha lóxica proposicional é un sistema formal no cal as fórmulas representan proposicións que poden ser formadas pola combinación de proposicións atómicas usando conectivos lóxicos e un sistema de regras de derivacións, que permite que certas fórmulas sexan estabelecidas como "teoremas" do sistema formal.

En termos xerais, un cálculo é frecuentemente presentado como un sistema formal que consiste nun conxunto de expresións sintáticas (fórmulas ben formadas), un subconxunto distinguido desas expresións, e un conxunto de regras formais que define unha relación binaria específica, que se pretende interpretar como a noción de equivalencia lóxica, no espazo das expresións.

Cando o sistema formal ten o propósito de ser un sistema lóxico, as expresións deben ser interpretadas como asercións matemáticas, e as regras, coñecidas como regras de inferencia, normalmente son preservadoras da verdade. Nesa configuración, as regras (que poden incluír axiomas) poden entón ser usadas para inferir fórmulas representando asercións certas.

O conxunto de axiomas pode ser baleiro, un conxunto finito non baleiro, un conxunto finito numerable, ou pode ser dado por axiomas esquemáticos. Unha gramática formal define recursivamente as expresións e fórmulas ben formadas da linguaxe. Alén diso, pode presentarse unha semántica para definir verdade e valoracións.

A linguaxe dun cálculo proposicional consiste en:

1. un conxunto de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atómicas, proposicións atómicas, ou variables, e
2. un conxunto de operadores, interpretados como operadores lóxicos ou conectivos lóxicos.

Unha fórmula ben formada é calquera fórmula atómica ou calquera fórmula que pode ser construída a partir de fórmulas atómicas, usando conectivos de acordo coas regras da gramática.

O que segue define un cálculo proposicional padrón. Existen moitas formulacións distintas que son todas máis ou menos equivalentes mais que difiren nos detalles:

1. da súa linguaxe, que é a colección particular de símbolos primitivos e operadores,
2. do conxunto de axiomas, ou fórmulas distinguidas, e
3. do conxunto de regras de inferencia.

Aínda que sexa posible construír un cálculo abstracto formal que non ten uso práctico inmediato e practicamente ningunha aplicación obvia, o nome cálculo indica que esta especie de sistema formal ten súa orixe na utilidade dos seus membros protópicos no cálculo práctico. En xeral, calquera cálculo matemático é creado coa intención de representar un correcto dominio de obxectos formais, e tipicamente co obxectivo de facilitar as computacións e inferencias que precisan ser realizadas sobre esta representación. Así, antes de se desenvolver o propio cálculo, débese dar unha idea da súa notación pretendida, isto é, dos obxectivos formais que se pretende denotar coas fórmulas do cálculo.

Visto ao longo de seu desenvolvemento histórico, un cálculo formal para calquera tópico de estudo normalmente xorde a través dun proceso de abstracción gradual, refinamento paso a paso, e síntese por tentativa e erro a partir dun conxunto de sistemas notacionais informais previos, cada un dos cales tratando do mesmo dominio de obxectos só en parte ou dun ángulo en particular.

A lóxica proposicional ten como obxectivo modelar o raciocinio humano, partindo de frases declarativas (proposicións). Para entender mellor o que é unha proposición considérese a frase "1 máis 1 é igual a 10" ou simbolicamente, "1 + 1 = 10". Esta frase é unha proposición no sentido de que é unha aserción declarativa, ou sexa, afirma ou nega un feito, e ten un valor de verdade, que pode ser certo ou falso. Neste caso, nun sistema de numeración de base 2, a proposición anterior sería certa, mentres que no sistema decimal sería falsa. Outro exemplo é a afirmación "hoxe é un día quente", cun valor de verdade que vai depender de varios factores: o lugar sobre o que se está a falar, os instrumentos de medidas e de comparación (como os datos estatísticos de temperatura desa rexión), e principalmente de quen está avaliando (dúas persoas, mesmo considerando as mesmas condicións nos ítems anteriores, poden avaliar de xeito diferente). Ou sexa, o valor verdade dunha proposición non é un concepto absoluto, mais depende dun contexto interpretativo. Hai incluso proposicións, que mesmo nun contexto interpretativo claro e non ambíguo, para as cales non é posible establecer de forma incuestionable a súa veracidade ou falsidade (polo menos co coñecemento actual da humanidade). Mais, en lóxica, o importante non é o valor de verdade que unha proposición poida tomar nun determinado contexto interpretativo, mais a posibilidade de que “en principio” sexa posible atribuír un valor de verdade, e que sexa posible razoar con estas proposicións.

A lóxica proposicional estuda como razoar con afirmacións que poden ser certas ou falsas, ou aínda como construír a partir dun correcto conxunto de hipóteses (proposicións certas nun determinado contexto) unha demostración de que unha determinada conclusión é certa no mesmo contexto. Así, son fundamentais as nocións de proposición, verdade, dedución e demostración. A lóxica proposicional clásica é un dos exemplos máis simples de lóxica formal. Esta lóxica ten en conta, soamente, os valores de verdade certo e falso e a forma das proposicións. O estudo detallado desa lóxica é importante porque contén case todos os conceptos importantes necesarios para o estudo de lóxicas máis complexas.

Un cálculo proposicional é un sistema formal ${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )}$ cuxas fórmulas son construídas da seguinte maneira:

• O conxunto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ é un conxunto finito de elementos chamados símbolos de proposición, variables proposicionais ou simplemente átomos. Sintacticamente falando, son os elementos máis básicos da linguaxe formal ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ tamén chamados fórmulas atómicas ou elementos terminais. Nos exemplos a seguir, os elementos de ${\displaystyle \mathrm {A} }$ son as letras ${\displaystyle {\mathcal {P}},\ {\mathcal {Q}},\ {\mathcal {R}},}$ en diante.
• O conxunto omega ${\displaystyle \Omega }$ é un conxunto finito de elementos chamados símbolos de operadores ou conectivos lóxicos. O conxunto ${\displaystyle \Omega }$ divídese entre os seguintes conxuntos distintos:

  ${\displaystyle \Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \ldots \cup \Omega _{j}\cup \ldots \cup \Omega _{m}\,}$.

  Nesta división, ${\displaystyle \Omega _{j}}$ é o conxunto dos símbolos de aridade ${\displaystyle j}$.

  Nos cálculos proposicionais máis familiares, ${\displaystyle \Omega }$ adoita dividirse en termos de:

  ${\displaystyle \Omega _{1}=\{\lnot \}\,,}$

  ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \{\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow \}\,}$.

  Unha opción frecuentemente adoptada é tratar os valores lóxicos constantes como operadores de aridade cero. Así:

  ${\displaystyle \Omega _{0}=\{\bot ,\top \}\,.}$

• Algúns autores empregan o til (~) en lugar de (¬); e algúns usan o (&) ou (${\displaystyle \cdot }$) en lugar de (∧). A notación varía aínda máis para o conxunto de valores lóxicos, con símbolos como {falso, certo}, {F, V}, ou {0, 1} todos sendo usados en varios contextos ao contrario de {${\displaystyle \bot ,}$ ${\displaystyle \top }$}.

• Dependendo da gramática formal específica que se está a empregar, auxiliares sintácticos como a paréntese esquerda, “(”, e a paréntese dereita, “)”, poden ser necesarios para completar a construción das fórmulas.

A linguaxe de ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ tamén coñecida como o seu conxunto de fórmulas, fórmulas ben formadas ou fbfs, defínese recursiva ou indutivamente polas seguintes regras:

1. Base. Calquera elemento do conxunto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ é fórmula de ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$
2. Paso (a). Se ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ é unha fórmula, entón ¬${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ é unha fórmula.
3. Paso (b). Se ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ son fórmulas, entón (${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ∧ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$), (${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ∨ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$), (${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ → ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$), e (${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ↔ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$) son fórmulas.
4. Pechado. Nada máis é unha fórmula de ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$

Aplicacións relacionadas con esas regras permiten a construción de fórmulas complexas. Por exemplo:

1. Pola regra 1, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ é unha fórmula.
2. Pola regra 2, ¬ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ é unha fórmula.
3. Pola regra 1, ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ é unha fórmula.
4. Pola regra 3, (¬${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ∨ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ é unha fórmula.

• O conxunto ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ é un conxunto finito de regras de transformación que son coñecidas como regras de inferencia do punto de vista das aplicacións lóxicas.
• O conxunto ${\displaystyle \mathrm {I} }$ é un conxunto finito de puntos iniciais que son chamados de axiomas cando reciben interpretacións lóxicas.

Sexa ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ unha linguaxe que conteña as proposicións ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$.

Que se pode dicir sobre a proposición ${\displaystyle P}$? Para comezar, segundo o principio de bivalencia, é ou certa ou falsa. Isto represéntase así:

Agora, que se pode dicir sobre as proposicións ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$? Ou ambas son certas, ou a primeira é certa e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é certa, ou ambas son falsas. Isto represéntase así:

Unha táboa para ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$ é:

Cada liña da táboa (fóra da primeira que contén as fórmulas) representa unha valoración.

Para fórmulas como ${\displaystyle \neg P,}$ ${\displaystyle Q\lor R}$ ou ${\displaystyle \left(Q\land R\right)\to \left(P\leftrightarrow Q\right)}$ pódense establecer os valores que reciben en vista do valor de cada fórmula atómica que as compón. Faise por medio das táboas de verdade.

Os primeiros pasos para construír unha táboa de verdade consisten en:

1. Unha liña en que están contidas todas as subfórmulas dunha fórmula e a propia fórmula. Por exemplo, a fórmula ${\displaystyle \neg \left(\left(P\land Q\right)\to R\right)}$ ten o seguinte conxunto de sub-fórmulas: ${\displaystyle \neg \left(\left(P\land Q\right)\to R\right)}$ tem o seguinte conjunto de sub-fórmulas: ${\displaystyle \left\{\left(P\land Q\right)\to R,P\land Q,P,Q,R\right\}}$
2. ${\displaystyle l}$ liñas en que están todos os posibles valores que as proposicións atómicas poden recibir e os valores recibidos polas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de liñas é ${\displaystyle l=n^{t},}$ sendo ${\displaystyle n}$ o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e ${\displaystyle t}$ o número de átomos que a fórmula contén.${\displaystyle }$ Así, se unha fórmula contén 2 átomos, o número de liñas que expresan a permutacións entre estes será 4: un caso de ambos foren certos (V V), dous casos de só un dos átomos for certo (V F , F V) e un caso no cal ambos foren falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de liñas que expresan a permutacións entre estes será 8: un caso de todos os átomos seren certos (V V V), tres casos de só dous átomos seren certos (V V F , V F V , F V V), tres casos de só un dos átomos ser certo (V F F , F V F , F F V) e un caso no cal todos átomos son falsos (F F F).

Entón, para a fórmula ${\displaystyle \neg \left(\left(P\land Q\right)\to R\right),}$ tense:

Para completar esta táboa precísase definir os operadores lóxicos.

A negación ten o valor inverso da fórmula negada:

Nunha linguaxe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ na cal ${\displaystyle P}$ significa "Sócrates é mortal", ${\displaystyle \neg P}$ pode ser interpretada como "Sócrates non é mortal", e, se o primeiro é certo, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é certo.

Interpretar a negación por medio de antónimos tamén é unha alternativa, mais débese ter cautela, pois non sempre se pode aplicar. No exemplo enriba a interpretación por medio de antónimos é perfectamente aplicable, ou sexa, se ${\displaystyle P}$ significa "Sócrates é mortal", ${\displaystyle \neg P}$ pode ser interpretada como "Sócrates é inmortal". Por outro lado, nunha linguaxe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ na cal ${\displaystyle Q}$ significa "Xoán é bo xogador", a proposición "Xoán é mao xogador" non é a mellor interpretación para ${\displaystyle \neg Q}$ (Xoán podería ser só un xogador mediano).

A conxunción entre dúas fórmulas só é certa cando ambas son certas:

Nunha linguaxe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ na cal ${\displaystyle P}$ significa "Son cidadán europeo" e ${\displaystyle Q}$ significa "Son estudante de filosofía", ${\displaystyle P\land Q}$ pode ser interpretada como "Son cidadán europeo e estudante de filosofía"; o que só é verdade se ${\displaystyle P}$ é certa e ${\displaystyle Q}$ é certa.

A conxunción é conmutable, ou sexa, ${\displaystyle P\land Q}$ é equivalente a ${\displaystyle Q\land P,}$.

A conmutatividade da conxunción trae un problema para formalizar proposicións da linguaxe natural no Cálculo Proposicional Clásico, pois a orde en que as oracións aparecen pode suxerir unha secuencia temporal. Por exemplo "Sabela casou e tivo un fillo" é ben distinto de "Sabela tivo un fillo e casou".

Proposicións que levan a palabra "mais" tamén poden ser formalizadas pola conxunción. Por exemplo, nunha linguaxe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ na cal ${\displaystyle R}$ significa "Xoán foi atropelado" e ${\displaystyle D}$ significa "Xoán sobreviviu ao atropelo", as sentenzas "Xoán foi atropelado e sobreviviu" e "Xoán foi atropelado, mais sobreviviu" poden ambas ser formalizadas ${\displaystyle R\land D}$.

A disxunción entre dúas fórmulas só é certa cando polo menos unha delas é certa:

A disxunción tamén é conmutativa.

Se ${\displaystyle P}$ significa "Sabela estuda filosofía" e ${\displaystyle Q}$ significa "Sabela estuda matemáticas", ${\displaystyle P\lor Q}$ pode ser interpretada como "Sabela estuda filosofía ou matemáticas"; o que só é falso se nin ${\displaystyle P}$ nin ${\displaystyle Q}$ foren certas.

Coa disxunción é preciso tomar moito coidado tanto na interpretación das fórmulas como na formalización de proposicións, pois na linguaxe natural moitas veces os disxuntos exclúense. Por exemplo: "Unha moeda ao ser lanzada resulta en cara ou cruz", "Nestas vacacións eu vou viaxar ou ficar en casa". Para estes casos emprégase a disxunción exclusiva ou a biimplicación combinada coa negación.

A implicación, ou condicional (SE-ENTÓN), entre dúas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for certa e a da dereita (consecuente) for falsa:

A implicación non é conmutativa.

Se nunha linguaxe ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, ${\displaystyle P}$ significa "O botón vermello foi apertado" e ${\displaystyle Q}$ significa "O lugar enteiro estoura", ${\displaystyle P\to Q}$ pode ser interpretada como "Se o botón vermello foi apertado, entón o lugar enteiro estoura", mais se o botón vermello for apertado (verdade de ${\displaystyle P}$) e o lugar enteiro non estourar, este resultado é falso (falsidade de ${\displaystyle Q}$).

A biimplicación ou equivalencia ("se e soamente se"), entre dúas fórmulas é certa cando ambas son certas ou ambas son falsas.

A equivalencia é conmutativa.

Se ${\displaystyle P}$ significa "O número natural é divisible entre cinco" e ${\displaystyle Q}$ significa "'O último algarismo do número natural é cero ou cinco", ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ pode ser interpretada como "O número natural é divisível por 5 se, e soamente se, o seu último algarismo é cero ou cinco". Basta que unha das proposicións ou condicións sexa falsa para que o enunciado se torne falso.

• Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2002), Lógica para a Ciência da Computação, Versión Preliminar, Natal, RN.
• GORSKY, Samir. A semántica alxébrica para a lóxica modal e seu interese filosófico. Dissertación de mestrado. IFCH-UNICAMP. 2008.
• Lóxica e filosofía, páxina con informacións como ligazóns a departamentos de filosofía do Brasil e doutros países, textos académicos filosóficos e tópicos sobre historia da filosofía.

• Símbolos lóxicos