Implicación recíproca

Diagrama de Venn da implicación recíproca
Outros nomes	Implicación inversa
linguaxe natural	B implica A
linguaxe formal	${\displaystyle A\leftarrow B}$
táboa de verdade	${\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}A&B&A\leftarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}}$

Conectivas lóxicas
NOT (NON) ${\displaystyle \neg A}$, ${\displaystyle -A}$, ${\displaystyle {\overline {A}}}$, ${\displaystyle \sim A}$ AND (E) ${\displaystyle A\land B}$, ${\displaystyle A\cdot B}$, ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle A\&B}$, ${\displaystyle A\&\&B}$ NAND (NON E) ${\displaystyle A{\overline {\land }}B}$, ${\displaystyle A\uparrow B}$, ${\displaystyle A\mid B}$, ${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}$ OR (OU) ${\displaystyle A\lor B}$, ${\displaystyle A+B}$, ${\displaystyle A\mid B}$, ${\displaystyle A\parallel B}$ NOR (NON OU) ${\displaystyle A{\overline {\lor }}B}$, ${\displaystyle A\downarrow B}$, ${\displaystyle {\overline {A+B}}}$ XNOR (NON OU exclusivo) ${\displaystyle A\ {\text{XNOR}}\ B}$ └ equivalencia ${\displaystyle A\equiv B}$, ${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$, ${\displaystyle A\leftrightharpoons B}$ XOR (OU exclusivo) ${\displaystyle A{\underline {\lor }}B}$, ${\displaystyle A\oplus B}$ └ non equivalencia ${\displaystyle A\not \equiv B}$, ${\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}$, ${\displaystyle A\nleftrightarrow B}$ Implicación ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, ${\displaystyle A\supset B}$, ${\displaystyle A\rightarrow B}$ Implicación recíproca ${\displaystyle A\Leftarrow B}$, ${\displaystyle A\subset B}$, ${\displaystyle A\leftarrow B}$
v c e

En lóxica e matemáticas, a implicación recíproca ou inversa dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación P → Q, a recíproca é Q → P. Para a proposición categórica Todos os S son P, a recíproca é Todos os P son S. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal.

Sexa S un enunciado da forma P implica Q (P → Q). Entón a recíproca de S é a afirmación Q implica P (Q → P). En xeral, a verdade de S non di nada sobre a verdade da súa recíproca,^[1] a non ser que o antecedente P e o consecuente Q sexan loxicamente equivalentes.

Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).

No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".

Unha táboa de verdade deixa claro que S e a recíproca de S non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftarrow Q}$ (recíproca)
F	F	V	V
F	V	V	F
V	F	F	V
V	V	V	V

Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado S e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, P é verdadeiro se e só se Q tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).

A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle \neg Q}$

${\displaystyle P\leftarrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle \neg Q}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997.^[2]

A inversa de "Dado P, se Q entón R " será "Dado P, se R entón Q" . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$, se o ángulo oposto ao lado da lonxitude ${\displaystyle c}$ é un ángulo recto, entón ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

A recíproca, que tamén aparece nos Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$, se ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, entón o ángulo oposto ao lado da lonxitude ${\displaystyle c}$ é un ángulo recto.

Se ${\displaystyle R}$ é unha relación binaria con ${\displaystyle R\subseteq A\times B,}$ entón a relación inversa ${\displaystyle R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}}$ tamén se chama transposta.

A recíproca da implicación P → Q pódese escribir Q → P, ${\displaystyle P\leftarrow Q}$, e tamén se pode denotar ${\displaystyle P\subset Q}$.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Implicación recíproca

• Aristotle. Organon.
• Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
• Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.

• Conectiva lóxica.
• Táboa de verdade.
• Teoría da orde.

• forall x: Calgary An Introduction to Formal Logic.