Toda función meromorfa en D pódese expresar como a razón entre dúas funcións holomorfas (co denominador distinto da constante 0) definidas en D: calquera polo debe coincidir cun cero do denominador.
Descrición intuitiva
Intuitivamente, unha función meromorfa é unha relación de dúas funcións que se comportan ben (holomorfas). A función meromorfa aínda terá un bo comportamento en case todos os puntos, agás posíbelmente nos puntos onde o denominador da fracción sexa cero. Se o denominador ten un cero en z e o numerador non, entón o valor da función achegarase ao infinito; se numerador e denominador teñen un cero en z, entón hai que comparar a multiplicidade destes ceros.
Dado que os polos están illados, unha función meromorfa so pode ter numerabelmente moitos polos.[2] O conxunto de polos pode ser infinito, como exemplifica a función
está definida en todo o plano complexo agás na orixe, 0. Porén, 0 non é un polo desta función, senón unha singularidade esencial. Así, esta función non é meromorfa en todo o plano complexo. No entano, se sacamos o 0 do dominio, , daquela a función é meromorfa e mesmo holomorfa no resto do dominio.
tampouco non é meromorfa, xa que ten unha singularidade esencial en 0.
Sobre superficies de Riemann
Nunha superficie de Riemann, cada punto admite unha veciñanza aberta que é biholomorfa nun subconxunto aberto do plano complexo. Deste xeito, a noción de función meromorfa pódese definir para cada superficie de Riemann.
Cando D é a esfera de Riemann completa, o corpo das funcións meromorfas é simplemente o corpo das funcións racionais nunha variábel sobre o corpo complexo, xa que se pode probar que calquera función meromorfa na esfera é racional. (Este é un caso especial do chamado principio GAGA).
Para toda superficie de Riemann, unha función meromorfa é o mesmo que unha función holomorfa que se corresponde coa esfera de Riemann e que non é a función constante igual a . Os polos corresponden a aqueles números complexos que están asignados a .
Nunha superficie de Riemann non compacta, cada función meromorfa pódese realizar como un cociente de dúas funcións holomorfas (definidas globalmente). Pola contra, nunha superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa é constante, mentres que sempre existen funcións meromorfas non constantes.