Pareto

Función de densidade Funcións de densidade de probabilidade para diferentes α  con xm = 1. o eje horizontal é o parámetro x. Como α → ∞ a distribución se aproxima δ(x − xm) onde δ é a delta de Dirac.
Función de distribución Funcións de densidade de probabilidade para diferentes α  con xm = 1. o eje horizontal é o parámetro x.
Parámetros	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,}$ escala (real) ${\displaystyle \alpha >0\,}$ forma (real)
Soporte	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!}$
Función de densidade	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x_{m}\!}$
Función de distribución	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,}$
Mediana	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Moda	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,}$
Asimetría	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}$
Entropía	${\displaystyle \ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!}$
F. xeradora de momentos	${\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0\,}$
Func. caract.	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}$

En estatística a distribución de Pareto, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros, que ten aplicación en disciplinas como a socioloxía, a xeofísica e a economía.^[1] Nalgunhas disciplinas refírense ás veces como a lei de Bradford. O equivalente discreto da distribución de Pareto é a distribución zeta (a lei de Zipf).

Se X pertence ao dominio da variable da distribución de Pareto, entón a probabilidade de que X sexa maior que un número x vén dada por:

${\displaystyle Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

onde x_m é o valor mínimo posible (positivo) de X, e α é un parámetro. A familia das distribucións de Pareto parametrízanse con dúas cantidades, x_m e α. Cando esta distribución se emprega nun modelo sobre a distribución de riqueza, o parámetro α é coñecido como índice de Pareto.

A partir da probabilidade acumulada, pode deducirse mediante unha derivada que a función de densidade de probabilidade é:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

• A media ou valor esperado dunha variable aleatoria X, que segue unha distribución de Pareto con parámetro α > 1 é

${\displaystyle E(X)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,}$

(se α ≤ 1, o valor esperado non existe).

• A varianza é

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.}$

(Si α ≤ 2, a varianza non existe).

• Os momentos son

${\displaystyle \mu _{n}'={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}},\,}$

pero o n-ésimo momento existe só para n < α.

• A función xeradora de momentos só está definida para valores non positivos de t ≤ 0 segundo:

${\displaystyle M\left(t,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.\,}$

A función da delta de Dirac é un caso límite da densidade de Pareto:

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,}$

Pode definirse unha Distribución de Pareto simétrica segundo:^[2]

${\displaystyle f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}}$

Pareto xeneralizado

Función de densidade {{{pdf_image}}}
Función de distribución {{{cdf_image}}}
Parámetros	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ localización (real) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$ escala (real) ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$ forma (real)
Soporte	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
Función de densidade	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$ onde ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
Función de distribución	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Media	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
Mediana	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Moda	{{{moda}}}
Varianza	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
Asimetría	{{{asimetría}}}
Curtose	{{{curtose}}}
Entropía	{{{entropía}}}
F. xeradora de momentos	{{{mgf}}}
Func. caract.	{{{char}}}

A familia de distribucións xeneralizadas de Pareto (GPD) teñen tres parámetros ${\displaystyle \mu ,\sigma \,}$ e ${\displaystyle \xi \,}$.

A función de probabilidade acumulada é

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}}$

Para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$, con ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$, e ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ con ${\displaystyle \xi <0\,}$, onde ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ é o parámetro localización, ${\displaystyle \sigma >0\,}$ é o parámetro escala e ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ é o parámetro forma. Algunhas referencias toman o parámetro forma como ${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$.

A función de densidade de probabilidade es:

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}$

ou

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.}$

de novo, para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$, e ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ se ${\displaystyle \xi <0\,}$

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber e Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Nova York:Wilei. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

• Calculadora - Distribución de Pareto