En matemáticas, a constante de Catalan G, tamén denominada coa letra K, defínese por
onde β é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico[1] é aproximadamente (secuencia A006752 na OEIS)
- G = 0.915965594177219015054603514932384110774…
Problemas sen solucionar en matemáticas:
É irracional a constante de Catalan? É transcendental?
Non está demostrado que G é irracional, e moito menos transcendental.[2] De G díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse".[2]
A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.
Usos
En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.
En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma.
A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor :Se K(k) é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico k, daquelaSe E(k) é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico k, daquelaCoa función gamma Γ(x + 1) = x!A integralé unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .
Relación con outras funcións especiais
G aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións:A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función G de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.
Se se define o trascendente de Lerch Φ(z,s,α) (relacionado coa función zeta de Lerch) pordaquela
Series de converxencia rápida
As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico:eOs fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst[3], para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula[4]. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba.[5][6] Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery .[7]
Fracción continua
G pode expresarse do seguinte xeito [8]
- A fracción continua simple vén dada por [9]
- Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se é irracional, que aínda está sen resolver.
Notas
- ↑ Papanikolaou, Thomas (March 1997). Catalan's Constant to 1,500,000 Places – vía Gutenberg.org.
- ↑ 2,0 2,1 Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013). The computation of previously inaccessible digits of pi^2 and Catalan's constant. Notices of the American Mathematical Society 60. pp. 844–854. MR 3086394. doi:10.1090/noti1015.
- ↑ Broadhurst, D. J. (1998). Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5). arXiv:math.CA/9803067.
- ↑ Berndt, B. C. (1985). Ramanujan's Notebook, Part I. Springer Verlag. p. 289. ISBN 978-1-4612-1088-7.
- ↑ Karatsuba, E. A. (1991). Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. 27. pp. 339–360. MR 1156939. Zbl 0754.65021.
- ↑ Karatsuba, E. A. (2001). "Fast computation of some special integrals of mathematical physics". En Krämer, W.; von Gudenberg, J. W. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods. pp. 29–41. doi:10.1007/978-1-4757-6484-0_3.
- ↑ Alexander Yee (14 May 2019). "Formulas and Algorithms". Consultado o 5 December 2021.
- ↑ Bowman, D.; Mc Laughlin, J. (2002). Polynomial continued fractions (PDF). Acta Arithmetica 103. pp. 329–342. Bibcode:2002AcAri.103..329B. arXiv:1812.08251. doi:10.4064/aa103-4-3. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2020-04-13.
- ↑ "A014538 - OEIS". oeis.org. Consultado o 2022-10-27.
Véxase tamén
Bibliografía
- Adamchik, Victor (2002). A certain series associated with Catalan's constant. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen 21. pp. 1–10. MR 1929434. doi:10.4171/ZAA/1110. Arquivado dende o orixinal o 16 de marzo de 2010. Consultado o 20 de xuño de 2024.
- Fee, Gregory J. (1990). "Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". En Watanabe, Shunro; Nagata, Morio. Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990. ACM. pp. 157–160. ISBN 0201548925. doi:10.1145/96877.96917.
- Bradley, David M. (1999). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. MR 1703281. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723.
- Bradley, David M. (2007). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723.
Outros artigos
Ligazóns externas