Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros n ≥ k ≥ 0 e escríbese ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$ Correspóndese co coeficiente do termo x^k na expansión polinómica da potencia binomial (1 + x)ⁿ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (1 + x) é

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}$

e calculamos o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6}$ é o coeficiente do termo x².

Se ordenamos os números ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$ en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}$

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ adoita lerse como "n sobre k". Hai ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$ formas de escoller 2 elementos entre {1, 2, 3, 4}, é dicir, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4 } e {3, 4}.

Agora podemos xeneralizar para que ${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}$ poida usarse para calquera número complexo z e enteiro k ≥ 0, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son C(n, k), Cn
k, e C_n,k, en todas elas o C significa combinacións.

Para os números naturais n e k, o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ pódese definir como o coeficiente do monomio X^k na expansión de (1 + X)ⁿ. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se k ≤ n ) na fórmula binomial

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}}$

(∗)

(válida para calquera elemento x, y dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de k elementos (ou k-combinacións) dun conxunto de n elementos.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$para todos os números enteiros ${\displaystyle n,k}$ tal que ${\displaystyle 1\leq k<n,}$

con valores límite

${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}$

para todos os números enteiros n ≥ 0.

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}$$onde o numerador da primeira fracción ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}$onde n! denota o factorial de n . A fórmula presenta unha simetría

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

(1)

A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo n por un número arbitrario ${\displaystyle \alpha }$ (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:$${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{para }}k\in \mathbb {N} {\text{ e un arbitrario }}\alpha .}$$Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}$

(2)

Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X| < 1.

A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},}$

(3)

que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

O número de fila n contén os números ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ para k = 0, …, n. Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.

Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Consulte Combinacións.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}$ cadeas que conteñen k uns e n ceros.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}}$ cadeas formadas por k uns e n ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.^[1]
• Os números de Catalan son ${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.}$
• A distribución binomial en estatística é ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

Dado calquera enteiro non negativo k, a expresión ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por k!:

${\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};}$

isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:

${\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.}$

Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entón

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}.}$

(5)

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}={\binom {n}{h+k}}{\binom {h+k}{h}}.}$

Para n constnte, temos a seguinte recorrencia:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.}$

A fórmula

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$

(∗∗)

expresa que os elementos da fila n-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia n-ésima.

Temos dúas fórmulas máis,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}.}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}$.

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a x (dúas veces na segunda) e despois de substituír x = y = 1.

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k, é

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}.}$

(7)

No caso especial n = 2m, k = m, usando (1), a expansión (7) fica como

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}},}$

(8)

onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central. Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j, k e n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n, é

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}.}$

(9)

Cando j = k, a ecuación (9) dá

${\displaystyle \sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}$

Sexa F (n) o n-ésimo número de Fibonacci, entón

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).}$

Para os enteiros s e t tales que ${\displaystyle 0\leq t<s,}$ as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

${\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}$

Para s pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, ^[2]

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}$

co caso especial

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}$

para n > 0. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P(x) de grao menor que n, ^[3]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}$

Cando P(x) é de grao menor ou igual a n,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(n-j)=n!a_{n}}$

(10)

onde ${\displaystyle a_{n}}$ é o coeficiente de grao n en P(x).

A identidade de Dixon é

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}$

ou, máis xeralmente,

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}$

onde a, b e c son enteiros non negativos.

Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ impar}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ par}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}$

Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

Se n é primo, entón$${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}$$por cada k con ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1.}$

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n.

Daquela temos

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod _{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod _{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.}$

Se temos un n fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots }$ é

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.}$

Agora, se facemos que k sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia ${\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,}$ é

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{n \choose k}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}$

A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$

Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.}$

En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide ${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}$ é igual a p^c, onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial.

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:^[4]

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ divide a }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}}$.

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ é múltiplo de }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}}$.

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro n ≥ 2 é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

${\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}$

son divisibles por n.

Os seguintes límites para ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ cúmprense para todos os valores de n e k tal que 1 ≤ k ≤ n:$${\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}$$Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que$${\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}}.}$$

A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando ${\displaystyle n-k,k}$ tenden ao infinito:$${\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}$$En particular, cando ${\displaystyle n}$ é suficientemente grande, temos

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}}$.

Se n é grande e k é linear en n, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$. Por exemplo, se ${\displaystyle |n/2-k|=o(n^{2/3})}$ entón$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}$$onde d = n − 2k.^[5]

Se n é grande e k é o(n) (é dicir, se k/n → 0), entón$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}$$onde de novo o é a notación o pequena. ^[6]

Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma$${\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}$$que produce as fórmulas asintóticas$${\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}$$cando ${\displaystyle k\to \infty }$.

Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}}$

onde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}$

Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de (x + y)ⁿ, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r})^{n}.}$

O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2}}={n \choose k_{1},n-k_{1}}={n \choose k_{1}}={n \choose k_{2}}.}$

A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente k_i elementos, onde i é o índice do recipiente.

Usando os números de Stirling do primeiro tipo,${\displaystyle s_{k,i}}$, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente ${\displaystyle z_{0}}$ é

${\displaystyle {\begin{aligned}{z \choose k}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{z_{0} \choose j-i}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{j \choose i}{\frac {s_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que ${\displaystyle n}$ é real e ${\displaystyle k}$ é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {{1/2} \choose {k}}={{2k} \choose {k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}$

Isto vese cando se expande ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.}$

A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por

${\displaystyle {\frac {1}{z \choose n}}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{n \choose i}{\frac {n-i}{z-i}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{z+n \choose n}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n \choose i}{\frac {i}{z+i}}.}$

A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}z^{n}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots }$

A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfan a ecuación diferencial (1 + z) f'(z) = α f(z).

O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\alpha +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{n+\alpha \choose n}z^{n}}$

onde se aplica a identidade

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}}$.

Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos;^[7] o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con remprazacemento) de k elementos de un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$.

O valor dos coeficientes multiconxunto é $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$

Para calquera n,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right).\end{aligned}}}$

En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos.

Por exemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-4}{7}}&={\frac {-10\cdot -9\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -5\cdot -4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=(-1)^{7}\;{\frac {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=\left(\!\!{\binom {-7}{7}}\!\!\right)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)={\binom {-1}{7}}{\binom {10}{7}}.\end{aligned}}}$

Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (y+1,x-y+1)}}.}$

Esta definición herda as seguintes propiedades da ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{-y-1 \choose -x-1}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{y-x-1 \choose y};}$

e tamén,

${\displaystyle {x \choose y}\cdot {y \choose x}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.}$

A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en (Fowler 1996).

O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como coeficiente binomial gaussiano (ligazón en inglés).

• Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66521-6. 
• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-333-7. 
• Bryant, Victor (1993). Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3. 
• Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory. Springer. ISBN 978-3-540-29952-3. Arquivado dende o orixinal o 2007-11-18. Consultado o 2017-08-28. 
• Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209. 
• Goetgheluck, P. (1987). "Computing Binomial Coefficients". American Mathematical Monthly 94 (4): 360–365. JSTOR 2323099. doi:10.2307/2323099. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second ed.). Addison-Wesley. pp. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. 
• Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5. 
• Grinshpan, A. Z. (2010). Weighted inequalities and negative binomials. Advances in Applied Mathematics 45. pp. 564–606. doi:10.1016/j.aam.2010.04.004. 
• Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. p. 25. ISBN 0-89871-420-6. 
• Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 52–74. ISBN 0-201-89683-4. 
• Singmaster, David (1974). "Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients". Journal of the London Mathematical Society 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555. 
• Shilov, G. E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7. 
• Uspensky, James (1937). Introduction to Mathematical Probability. McGraw-Hill. 

• Transformación binomial
• Número de Delannoy
• Número euleriano
• Función hiperxeométrica
• Número de Motzkin
• Número de Narayana

• "Binomial coefficients". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Andrew Granville (1997). "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers". CMS Conf. Proc 20: 151–162.