Soit un espace de Hilbert séparable et un espace de Banach réflexif et dense dans avec une inclusion continue. Soient et les espaces duals correspondants. La séparabilité de garantit l'existence d'un sous-espace dense dans .
Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée
On peut montrer que est également dense et que l'inclusion est continue. Pour un et , on définit la paire duale
Pour chaque il existe une représentation de Riesz unique telle que
pour tout . On peut donc identifier et donc l'inclusion suit
et l’inclusion est continue.
Cas général
Dans le cas général, n'est pas un espace de Banach mais seulement un espace vectoriel topologique. Le triplet est aussi appelé triplet de Gelfand et est également dense et l'inclusion est continue.
Exemples
Soient l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur (qui est un cas particulier d’espace Lp), l'espace de Schwartz et l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet est un triplet de Gelfand.
Soient les espaces de suites classiques. Alors le triplet est un triplet de Gelfand.
Références
↑François Gieres, Formalisme de Dirac et surprises
mathématiques en mécanique quantique, (lire en ligne)
↑(en) Claudia Prévôt et Michael Röckner, A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations, Springer Berlin, Heidelberg, coll. « Lecture Notes in Mathematics », , 55-73 p. (DOI10.1007/978-3-540-70781-3)