Trifun Živanović patine d'abord pour les États-Unis où il est entraîné par Gary Visconti. En 2001, il déménage à Belgrade pendant un an pour obtenir la citoyenneté yougoslave, son père étant serbe, pour pouvoir patiner pour la Yougoslavie dès 2002. Le pays devient la Serbie-et-Monténégro le 4 février 2003 et enfin il patine pour la Serbie lorsque le Monténégro prend son indépendance le 3 juin 2006. Trifun Živanović a ainsi la particularité d'avoir participé aux championnats du monde de patinage artistique en représentant quatre pays (États-Unis, Yougoslavie, Serbie-et-Monténégro et Serbie). Il est également l'un des rares patineurs à avoir participé aux championnats des quatre continents et aux championnats d'Europe.
Dans la première partie de sa carrière sportive, lorsqu'il patine pour son pays natal, il devient vice-champion des États-Unis en 1999 derrière Michael Weiss et médaillé de bronze l'année suivante derrière Michael Weiss et Timothy Goebel. Il participe à deux championnats des quatre continents (1999 à Halifax et 2000 à Osaka) et à un mondial (1999 à Helsinki).
Dans la seconde partie de sa carrière, lorsqu'il patine pour la Yougoslavie à partir de 2002 (devenue Serbie-et-Monténégro en 2003, puis Serbie en 2007), il remporte les championnats nationaux de ces pays à six reprises de 2002 à 2007. Il représente son nouveau pays à trois championnats d'Europe (2004 à Budapest, 2005 à Turin et 2006 à Lyon), quatre mondiaux (2004 à Dortmund, 2005 à Moscou, 2006 à Calgary et 2007 à Tokyo) et aux Jeux olympiques d'hiver de 2006 à Turin.
Il arrête les compétitions sportives après les mondiaux de 2007.
Reconversion
Trifun Živanović travaille comme instructeur de patinage sur glace au Pickwick Ice Center de Burbank en Californie.