Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.
Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.
Une forme linéaire
est dite K-positive si
Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire
Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour
φ n'a pas de prolongement K-positif.
Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :
Démonstration
Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.
Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel a et à poser
En considérant les f +λ y qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur a pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :
(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à ]–∞, +∞] et la borne inférieure du second à [–∞, +∞[.)
Le choix d'un tel réel a est donc possible dès que
et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur f ' – f appartient à F∩K.
Corollaire : théorème de prolongement de Krein
Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et x un vecteur tel que
Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(x) = 1.
Références
Article connexe
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