Le principe est d'écrire la fraction sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 12. Les calculs sont présentés d'abord en base décimale puis en base duodécimale.

• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{10}}=0,6}$
• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{12}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{10}}=0,4}$
• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{12}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{10}}=0,3}$
• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{10}}=0,2}$
• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {18}{12^{2}}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {16}{100}}=0,16}$
• Écriture décimale : ${\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {16}{12^{2}}}}$ - Écriture duodécimale : ${\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {14}{100}}=0,14}$

Pour trouver l'inverse de l'entier ${\displaystyle q}$, premier avec ${\displaystyle b}$, dans la base ${\displaystyle b}$, il suffit de trouver le plus petit entier ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle b^{n}\equiv 1{\pmod {q}}}$. Il existe alors ${\displaystyle N}$ tel que ${\displaystyle b^{n}=Nq+1}$ et donc

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {1}{b^{n}}}{\frac {1}{q}}}$

En reprenant la valeur de ${\displaystyle {\frac {1}{q}}}$ dans le second membre , on obtient

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {1}{b^{2n}}}{\frac {1}{q}}}$

et en répétant indéfiniment ce processus on obtient

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {N}{b^{3n}}}+{\frac {N}{b^{4n}}}+\cdots }$.

Or ${\displaystyle 12^{4}=20736=5\times 4147+1}$. Donc ${\displaystyle N=4147}$. Or ${\displaystyle 4147=2\times 12^{3}+4\times 12^{2}+9\times 12+7}$ donc l'écriture duodécimale de ${\displaystyle N}$ est 2497. L'écriture de la fraction 1/5 en duodécimal est donc

${\displaystyle {\frac {1}{5}}={\frac {2497}{10^{4}}}+{\frac {2497}{10^{2\times 4}}}+{\frac {2497}{10^{3\times 4}}}+\cdots =0,249724972497\cdots }$.

De même, ${\displaystyle 12^{6}=2985984=7\times 426569+1}$. Donc ${\displaystyle N=426569}$.

Or ${\displaystyle 426569=1\times 12^{5}+8\times 12^{4}+6\times 12^{3}+10\times 12^{2}+3\times 12+5}$ donc l'écriture duodécimale de ${\displaystyle N}$ est 186A35. L'écriture de la fraction 1/7 en duodécimal est donc

${\displaystyle {\frac {1}{7}}={\frac {186A35}{10^{5}}}+{\frac {186A35}{10^{2\times 5}}}+{\frac {186A35}{10^{3\times 5}}}+\cdots =0,186A35186A35\cdots }$

De même ${\displaystyle 12=11\times 1+1}$. ici ${\displaystyle N=1}$ et l'écriture en duodécimal de la fraction 1/11 est

${\displaystyle {\frac {1}{B}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =0,111\cdots }$

Quant à l'inverse de 10, c'est la moitié de l'inverse de 5.