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La sphère de dimension 0 est constituée de deux points séparés, comme la paire {-1 ; 1} des réels à une distance 1 de zéro. La sphère de dimension 1 est le cercle usuel, la sphère de dimension 2 est la sphère usuelle et la sphère de dimension 3 peut se voir comme l'espace tridimensionnel muni d'un point à l'infini. Il en existe ainsi une en chaque dimension entière positive.
Les sphères sont les seules variétéscompactes sans bord et homotopiquement équivalentes aux hypersphères. Ce résultat, connu par classification en dimension 1 et 2, démontré en dimension supérieure ou égale à 4 pendant la deuxième moitié du XXe siècle, n'a été complété qu'au début du XXIe siècle par la résolution de la conjecture de Poincaré, pourtant formulée un siècle plus tôt.
Certaines sphères admettent des structures différentiables différentes de celle issue de la géométrie euclidienne. Le premier exemple connu a été donné par Kervaire et Milnor en dimension 7.
