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Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tel que ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$ (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g.

${\displaystyle {\begin{array}{c}Y\xrightarrow {\quad g\quad } X\\{}_{1_{Y}}\searrow \quad \swarrow _{f}\\\quad Y\end{array}}}$

En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).

Le concept au sens des catégories de ces notions est particulièrement important en algèbre homologique, et est étroitement lié à la notion de section d'un fibré en topologie.

Toute section est un monomorphisme et toute rétraction est un épimorphisme. Elles sont respectivement appelées^[1] split mono et split epi. Même dans le cas de la catégorie des ensembles, il n'y a nullement unicité, par exemple, si f est une surjection mais pas une bijection, on peut construire (en admettant l'axiome du choix) plusieurs sections de f.

• Soit un espace quotient ${\displaystyle {\bar {X}}}$ quotienté par l'application ${\displaystyle \pi \colon X\to {\bar {X}}}$, une section de ${\displaystyle \pi }$ est appelée une transversale (en).
• Soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ deux catégories et ${\displaystyle F}$ un foncteur covariant de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Alors, si ${\displaystyle u}$ est une section (resp. une rétraction) de ${\displaystyle v}$, la flèche ${\displaystyle F(u)}$ est une section (resp. une rétraction) de ${\displaystyle F(v)}$^[2].

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