Sam Skinner est diplômé de l'université d'Exeter en affaires et économie[7]. Dans cette université, il joue au rugby et en devient même le capitaine[4].
Sam Skinner rejoint le club d'Exeter Chiefs lors de la saison 2014-2015[8]. Le , Skinner fait ses débuts en équipe première dans la Coupe anglo-galloise contre Gloucester Rugby avant de faire ses débuts en Premiership contre les Northampton Saints[9]. En parallèle, il continue d'évoluer avec Taunton RFC en prêt de 2015 à 2016[10],[11]. En début de saison 2016-2017, il est également prêté au club de Fylde RFC(en) avec qui il joue deux rencontres[12].
Il a marqué son premier essai pour les Chiefs lors d'une victoire à domicile, sur le score de 36 à 14 contre les Newcastle Falcons en [13], avant d'être titularisé pour la première fois face aux Wasps en [14]. Ses débuts ont été qualifiés de "performance du week-end" dans le Daily Telegraph[15].
En , Skinner remplace Mitch Lees en deuxième mi-temps alors qu'Exeter est battu par les Saracens lors de la finale de Premiership se déroulant au stade de Twickenham[16]. À la fin de cet exercice, où il a notamment gagné en temps de jeu en jouant vingt-six rencontres dont treize titularisations[17], il est considéré comme l'une des révélations de la saison.
L'année suivante, il s'incline une nouvelle fois contre les Saracens en finale de Premiership où il est de nouveau remplaçant[18].
Durant la saison 2019-2020, son club est dans un premier temps finaliste de la Coupe d'Europe contre le Racing 92. Il entre en jeu à la place de son compatriote Jonny Gray dans ce match qui se termine par une victoire anglaise 31 à 27[19],[20]. En championnat son équipe est également finaliste. Les Chiefs rencontrent les Wasps. Cette fois, Sam Skinner est titularisé et les siens l'emportent 19 à 13 réalisant ainsi le doublé Coupe d'Europe/Championnat[21],[22].
Les saisons suivantes, il est un joueur important de l'effectif, étant titularisé régulièrement[17].
Le club d'Édimbourg Rugby annonce son recrutement pour la saison 2022-2023, il est contraint de quitter Exeter à cause de nouvelles mesures liées au Salary Cap[23]. Lors de sa première saison en Écosse, il s'impose comme l'un des titulaires au poste de deuxième ligne, prenant part à quatorze rencontres dont treize en tant que titulaire et inscrivant trois essais[17].
En , il signe une prolongation de contrat le liant à son équipe jusqu'en 2026 désormais[24].
Il est finalement convoqué en par cette sélection pour les test-matchs de fin d'année[27]. Le il fait ses débuts internationaux en tant que deuxième ligne contre les Fidji, au stade de Murrayfield. Skinner est, à cette occasion, nommé homme du match ; réussissant en tout sept plaquages et parcourant 44 mètres dans le match[4],[28].
Le sélectionneur écossais, Gregor Townsend, le sélectionne pour le Tournoi des Six Nations 2019[29], il dispute deux rencontres durant cette compétition[17]. Malheureusement, une blessure à la cuisse, contractée contre la France en match de préparation, l'empêche d'être disponible pour une potentielle sélection pour la Coupe du monde 2019[30].
Par la suite, il est sélectionné pour les éditions 2020[31], 2021[32], 2022 et 2023 du Tournoi des Six Nations[33],[34]. Après l'édition 2023, en mai suivant, il est retenu dans une pré-sélection pour préparer la Coupe du monde 2023[35]. Trois mois plus tard, il est retenu définitivement pour le Mondial[36]. Pendant la compétition, il prend part à deux rencontres dont une en tant que titulaire lors de la phase de poule[17], dont son équipe n'arrive pas à se sortir et est éliminée[37].
