Né le à Kerlaz, dans le sud du Finistère[3], René Billon commence le football avec le club de son village, Kerlaz Sport, créé en 1943[4]. Cousin de Jean-Pierre Darchen[5], il joue à Kerlaz avec ses frères Jean et Henri, et démontre de bonnes qualités de footballeur dès son adolescence[4]. En 1952, à l'âge de 21 ans, il rejoint le Stade rennais, dont il intègre la section amateur. Il y joue durant près de deux ans, avant de faire ses débuts professionnels, en Division 2, le , à l'occasion d'une rencontre disputée au stade de la route de Lorient face à l'Olympique lyonnais[5]. Il ne joue, ainsi, qu'une seule rencontre, en 1953-1954, avec l'équipe première dirigée par Salvador Artigas[3]. La saison suivante, ce dernier l'intègre pleinement à l'effectif professionnel, et René Billon devient titulaire au sein de la défense rennaise durant deux ans. Le , il marque son unique but professionnel, face au SO Montpellier[5]. En 1955-1956, il dispute vingt-huit rencontres de championnat, et participe activement à la remontée du club breton en première division[3],[5].
Malgré cela, René Billon quitte la section professionnelle du Stade rennais en 1956, pour retourner dans les rangs de la section amateur. Il y demeure jusqu'à la fin de la saison 1961-1962, lors de laquelle l'entraîneur rennais Antoine Cuissard décide de faire appel à lui. Le , René Billon dispute ainsi son premier match de Division 1, face à Montpellier au stade de la route de Lorient[5]. Durant la deuxième partie de saison, il dispute un total de onze matchs à ce niveau[3]. En 1962-1963, il est de nouveau aligné à six reprises par Cuissard, en championnat et en Coupe Drago, puis retourne définitivement au sein de la section amateur. En 1964, René Billon quitte le Stade rennais et part jouer à Plancoët, dans les Côtes-du-Nord[5].
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