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En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, un entier naturel $q$ est un résidu quadratique modulo $n$ s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module $n$ . Autrement dit, $q$ est un résidu quadratique modulo $n$ s'il existe un entier $x$ tel que :

{x^{2}}\equiv q{\pmod {n}}

.

Dans le cas contraire, on dit que $q$ est un non-résidu quadratique modulo $n$

Exemples

Par exemple :

modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2² ≡ 0² = 0 ou à (±1)² = 1. Les non-résidus quadratiques sont donc ceux congrus à 2 ou à 3 ;
modulo 2, tout entier est un résidu quadratique ;
modulo p, tout multiple de p est un résidu quadratique. Pour cette raison, certains auteurs^[1]^,^[2] excluent les multiples de p de la définition et imposent même que p et q soient premiers entre eux.

Modulo un entier quelconque

Modulo un entier $n > 0$ , la classe de $x$ ² ne dépend que de celle de $x$ , donc les résidus quadratiques sont les restes obtenus dans la division euclidienne de $x$ ² par $n$ en faisant varier $x$ dans $\left\{0,1,\dots ,n-1\right\}$ , ou dans n'importe quel ensemble de $n$ entiers consécutifs, comme $\left\{\left\lfloor {\frac {-n}{2}}\right\rfloor +1,\left\lfloor {\frac {-n}{2}}\right\rfloor +2,\dots ,\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right\}$ (c.-à-d. $\left\{-{\frac {n}{2}}+1,\dots ,{\frac {n}{2}}\right\}$ si $n$ est pair et $\left\{-{\frac {n-1}{2}},\dots ,{\frac {n-1}{2}}\right\}$ si $n$ est impair).

On peut même se limiter à $x\in \left\{0,1,...,\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right\}$ , puisque $\left(-x\right)^{2}=x^{2}$ .

En outre, 0 et 1 sont toujours résidus quadratiques.

Exemple :

Le tableau ci-dessous des résidus quadratiques modulo 10 expose bien la symétrie et montre que l'on peut se restreindre à $x\in \{0,1,...,5\}$ .

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c|}x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\\hline x^{2}&{\color {magenta}6}&{\color {cyan}9}&{\color {blue}4}&{\color {green}1}&{\color {red}0}&{\color {green}1}&{\color {blue}4}&{\color {cyan}9}&{\color {magenta}6}&{\color {brown}5}\end{array}}

Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux. Un entier $x$ est un résidu quadratique $mod ab$ si (et bien sûr seulement si) $x$ est un résidu quadratique à la fois $mod a$ et $mod b$ .

Démonstration

Si $x\equiv u^{2}{\bmod {a}}$ et $x\equiv v^{2}{\bmod {b}}$ , soit (par le théorème des restes chinois) un entier $w$ tel que $w\equiv u{\bmod {a}}$ et $w\equiv v{\bmod {b}}$ . Alors, $x\equiv w^{2}{\bmod {a}}$ et $x\equiv w^{2}{\bmod {b}}$ donc (par le lemme de Gauss) $x\equiv w^{2}{\bmod {ab}}$ .

Cette propriété permet de ramener la détermination des résidus quadratiques modulo un entier quelconque à celle des résidus modulo les puissances de nombres premiers qui apparaissent dans sa décomposition.

Modulo un nombre premier impair

Soit $p$ un nombre premier impair. Pour tout entier $n$ , le symbole de Legendre $(n / p)$ vaut, par définition :

\left({\frac {n}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ si }}n{\text{ est divisible par }}p\\+1&{\text{ si }}n{\text{ n'est pas divisible par }}p{\text{ et est un résidu quadratique modulo }}p\\-1&{\text{ si }}n{\text{ n'est pas un résidu quadratique modulo }}p.\end{cases}}

D'après le critère d'Euler, il est congru modulo $p$ à $n (p -1)/2$ . Le lemme de Gauss en fournit une autre expression.

La loi de réciprocité quadratique permet de calculer (–1/p), (2/p) et, si q est un autre nombre premier impair, (q/p) en fonction de (p/q). Elle fournit par exemple, pour un entier n donné, un critère sur le nombre premier p en termes de classes de congruence modulo 4n, qui détermine si $n$ est un résidu quadratique modulo p. Le théorème de la progression arithmétique permet^[3]^,^[4] d'en déduire que si $n$ n'est pas un carré parfait, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels $n$ n'est pas un résidu quadratique^[5]^,^[6], et que pour tout ensemble fini $S\subset \mathbb {Z}$ , il existe une infinité^[7] de nombres premiers $p$ tels que chaque élément de $S$ est un carré ${\bmod {p}}$ .

Modulo une puissance d'un nombre premier

Modulo 2^r avec r ≥ 3, les résidus quadratiques sont^[8] 0 et les entiers de la forme 4^k(8m + 1).

Pour p premier impair, tout entier non divisible par p qui est un carré mod p est aussi un carré mod p^r — en effet^[9], si α est une racine primitive modulo p^r, c'est une racine primitive modulo p. Donc si un élément α^k du groupe des unités (ℤ/p^rℤ)^× de ℤ/p^rℤ est un carré modulo p, son exposant k est pair, et est donc un carré modulo p^r — et les résidus quadratiques mod p^r sont les p^kn avec k ≥ r, ou (n/p) = 1 et k pair < r.

Localisation

Soit $p$ un nombre premier impair. Le plus petit entier $n$ qui n'est pas un résidu quadratique modulo $p$ vérifie $n<1+{\sqrt {p}}$ ^[4] et même, si $p\not \equiv 1{\pmod {8}}$ , $n<p^{\frac {2}{5}}+12p^{\frac {1}{5}}+33$ ^[4].

Plus généralement, on conjecture^[4] que pour tout $\varepsilon >0$ , pour tout nombre premier $p$ assez grand, cet entier $n$ est inférieur à $p^{\varepsilon }$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratic residue » (voir la liste des auteurs).

↑ Gauss, § 96 et 105.
↑ (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 84), 1990 (lire en ligne), p. 50.
↑ (en) Steve Wright, Quadratic Residues and Non-Residues : Selected Topics, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 2171), 2016 (arXiv 1408.0235, lire en ligne), théorèmes 4.2 et 4.3, et « Patterns of quadratic residues and nonresidues for infinitely many primes », J. Number Theory, vol. 123, n^o 1,‎ 2007, p. 120-132 (DOI 10.1016/j.jnt.2006.06.003). Pour une généralisation simultanée de ces deux théorèmes, voir cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
↑ ^{a b c et d} Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), Arithmétique de ℤ, chap. I.3.2 (« Résidus quadratiques : applications »), p. 47-49.
↑ Pour une preuve sans le théorème de la progression arithmétique, voir (pour n ∈ ℕ) Ireland et Rosen 1990, p. 57-58 (chap. 5, § 2, th. 3) ou (pour n ∈ ℤ) ce devoir corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
↑ Sur des problèmes connexes, voir « Théorème de Grunwald-Wang » et (en) « Does there exist a non-square number which is the quadratic residue of every prime? », sur MathOverflow.
↑ Plus précisément, la densité asymptotique relative D (dans l'ensemble des nombres premiers) de l'ensemble infini des solutions $p$ est non nulle et s'exprime simplement : on se ramène facilement (en ôtant de S les éléments redondants) au cas où aucun produit d'éléments de S n'est un carré à part le produit vide, et l'on démontre qu'alors, D = 2^–|S|, à l'aide de la version quantitative du théorème de la progression arithmétique : voir Wright 2016 (th. 4.9) ou (en) R. Balasubramanian, F. Luca et R. Thangadurai, « On the exact degree of $\mathbb {Q} ({\sqrt {a_{1}}},{\sqrt {a_{2}}},\ldots ,{\sqrt {a_{\ell }}})$ over $\mathbb {Q}$ », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 138,‎ 2010, p. 2283-2288 (DOI 10.1090/S0002-9939-10-10331-1), ou encore la preuve (bien plus simple) de l'exercice corrigé sur Wikiversité déjà signalé.
↑ Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
↑ Voir aussi cet exercice corrigé sur Wikiversité.