Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions ℍ(A) comme l'algèbre A[ℍ] du groupe ℍ des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

• 1 élément neutre pour la multiplication,
• ${\displaystyle {\rm {i}}^{2}={\rm {j}}^{2}={\rm {k}}^{2}=-1}$
• et les identités :
  • ${\displaystyle {\rm {i}}={\rm {j~k}}=-{\rm {k~j}},}$
  • ${\displaystyle {\rm {j}}={\rm {k~i}}=-{\rm {i~k}},}$
  • ${\displaystyle {\rm {k}}={\rm {i~j}}=-{\rm {j~i}}.}$

Soit ${\displaystyle \mathbb {H} (\mathbb {Z} )}$, l'algèbre des quaternions sur l'anneau ℤ des entiers relatifs. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz — ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$ comme suit :

${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )=\mathbb {H} (\mathbb {Z} )\cup \left({\frac {\rm {1+i+j+k}}{2}}+\mathbb {H} (\mathbb {Z} )\right).}$

Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur ℚ.

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau unitaire, intègre mais non commutatif.

Le carré ║a║² de la norme d'un entier de Hurwitz a est un entier naturel. Cet entier est premier si et seulement si a est un élément irréductible de l'anneau^[1].

Il existe 24 entiers de Hurwitz de norme 1 : 8 formés par ±1, ±i, ±j, ±k et 16 formés par (±1 ± i ± j ± k)/2.

Tout élément a de l'anneau est associé (à gauche ou à droite, au choix) à (au moins) un élément à composantes entières, c'est-à-dire que a est le produit d'un tel élément par l'un de ces 24 éléments de norme 1. En effet, si les quatre composantes de a sont des demi-entiers, il existe ω de la forme (±1 ± i ± j ± k)/2 tel que les composantes de a – ω soient des entiers pairs, et celles de ωa = ω(a – ω) + 1 sont alors entières.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un « préstathme euclidien », c'est-à-dire d'une application v de A dans ℕ vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a = qb + r et v(r) < v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs^[2]. En ce sens, l'anneau des entiers de Hurwitz est euclidien à gauche et à droite avec, comme préstathme, la norme. Autrement dit, pour la division euclidienne à gauche : si a et b sont des entiers de Hurwitz, avec b non nul, il existe au moins un couple (q, r) d'entiers de Hurwitz tel que a = qb + r avec ║r║ < ║b║. En effet, il suffit de poser r = a – qb après avoir choisi pour q un entier de Hurwitz tel que ║ab⁻¹ – q║ < 1, or un tel q existe toujours^[3].

Il en résulte que :

• tout idéal à gauche est principal ;
• on peut définir un algorithme d'Euclide à gauche dans l'anneau des entiers de Hurwitz, et trouver ainsi un plus grand commun diviseur (à droite)^[3] de a et b (noté pgcd(a, b)), c'est-à-dire ayant la plus grande norme, et des entiers de Hurwitz u et v tels que pgcd(a, b) = ua + vb.

On a bien sûr les analogues en échangeant gauche et droite, par un raisonnement identique ou par conjugaison.

(de) Adolf Hurwitz, Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, 1919 (lire en ligne)

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