Partie positive et partie négative d'une fonction

En mathématiques, à toute fonction réelle $f$ , on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive $f +$ et sa partie négative $f -$ , définies respectivement par :

f^{+}(x)=\max(f(x),\,0)={\begin{cases}f(x)&\mathrm {si} \ f(x)>0\\0&\mathrm {sinon} ,\end{cases}}

f^{-}(x)=-\min(f(x),\,0)={\begin{cases}-f(x)&\mathrm {si} \ f(x)<0\\0&\mathrm {sinon} .\end{cases}}

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de $f$ quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Relations avec la fonction initiale

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

f=f^{+}-f^{-},

|f|=f^{+}+f^{-}.

À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :

f^{+}={\frac {|f|+f}{2}},

f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.

Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :

f^{+}=[f>0]f,

f^{-}=-[f<0]f.

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

Partie positive et partie négative d'un réel

La partie positive $x +$ et la partie négative $x -$ d'un nombre réel $x$ sont les deux réels positifs définis par :

x^{+}=\max(x,\,0),

x^{-}=-\min(x,\,0).

On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :

x=x^{+}-x^{-},

|x|=x^{+}+x^{-},

ainsi que :

x^{+}={\frac {|x|+x}{2}},

x^{-}={\frac {|x|-x}{2}}.

Les parties positive et négative d'une fonction $f$ sont donc simplement ses composées par les applications $x \mapsto x +$ et $x \mapsto x -$ respectivement.

Liens externes

(it) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en italien intitulé « Parte positiva e parte negativa di una funzione » (voir la liste des auteurs).

(en) John Renze, « Positive Part », sur MathWorld
(en) John Renze, « Negative Part », sur MathWorld

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