Max Wright est notamment connu pour avoir joué Willy Tanner dans la sitcom Alf. Il jouait aussi Terry le propriétaire du café Central Perk dans Friends.
En plus de Alf, Wright a fait des apparitions dans des émissions télévisées telles que WKRP à Cincinnati et a été membre de la distribution régulière de Misfits of Science, AfterMASH, Buffalo Bill et The Norm Show, ainsi que dans l'adaptation télévisée de Le Fléau de Stephen King. Il est apparu brièvement dans les première et deuxième saisons de la sitcomFriends en tant que Terry, le directeur de Central Perk. Il a joué le rôle de Guenter Wendt dans la minisérie HBO de 1998, De la Terre à la Lune, et du DrJosef Mengele dans Playing for Time.
Wright a également eu une carrière théâtrale et a joué dans des théâtres régionaux à travers les États-Unis. En 1968, il fait partie de la production originale de The Great White Hope au stade Arena à Washington DC. En 1998, il se produit à Broadway dans Ivanov, ce qui lui vaut une nomination à Tony et joue Sir Andrew dans Twelfth Night au Lincoln Center. En 2007, il a joué au JET (Jewish Ensemble Theatre) à Detroit et à la production de No Man's Land au American Repertory Theatre. Il est également apparu dans la production de 2010 de Le Conte d'Hiver et du Marchand de Venise de The Public Theatre à Shakespeare in the Park.
Wright était marié à Linda Ybarrondo de 1965 à son décès du cancer du sein en 2017. Le couple a eu deux enfants, Ben et Daisy.
En , Wright a été arrêté pour conduite en état d'ébriété à Los Angeles. A l'époque, il apparaissait dans The Norm Show. Wright a de nouveau été arrêté pour conduite en état d'ivresse en 2003.
En 1995, il a été diagnostiqué avec un lymphome qui a été traité avec succès et est resté en rémission jusqu'en 2019. Le , Wright est décédé d'une récidive de ce lymphome à l'âge de 75 ans au Lillian Booth Actors Home(en) à Englewood dans le New Jersey.
