Mathieu Tanguy nait le à La Rochelle et y commence le rugby, au Stade rochelais, à l'école de rugby. Après être passé par toutes les équipes jeunes du Stade rochelais, il intègre le centre de formation du club avant de jouer ses premiers matchs en équipe première lors de la saison 2014-2015[2].
Il joue le premier match de sa carrière professionnelle le à l'occasion de la deuxième journée de Challenge européen de la saison 2014-2015, face à l'Aviron bayonnais. Il entre en jeu en cours de match et remplace Leandro Cedaro[3]. Pour sa première saison, il dispute six matchs : trois en Top 14 et trois en Challenge européen.
En début de saison 2021-2022, le deuxième ligne Rémi Picquette arrive en provenance de Vannes et fait son retour à La Rochelle. Il vient ainsi concurrencer Tanguy, Romain Sazy, Thomas Lavault et Will Skelton à ce poste[4]. Picquette devient rapidement la doublure de l'Australien, Skelton et dépasse ainsi Mathieu Tanguy dans la hiérarchie des deuxièmes lignes rochelais[5]. Ainsi, en manque de temps de jeu (9 matchs joués toutes compétitions confondues), et après huit saison passées au Stade rochelais, il rejoint le RC Toulon à l'issue de cette saison et signe un contrat le liant au RCT jusqu'en 2025[6].
Il arrive à Toulon où la hiérarchie au poste de deuxième ligne n'est pas du tout établie, surtout depuis le départ d'Eben Etzebeth. Pour la saison 2022-2023, il est alors en concurrence avec Sitaleki Timani, qui sort d'un an sans jouer, Brian Alainu’uese, Swan Rebbadj, Quinn Roux et les deux jeunes espoirs Adrien Warion et Matthias Halagahu[7]. Il joue son premier match avec son nouveau club dès la première journée de Top 14, face à Bayonne, lorsqu'il entre en jeu à la place d'Alainu’uese[8]. Après une saison presque blanche à La Rochelle, il retrouve du temps de jeu durant avec son nouveau club[9]. Dès sa première saison il atteint la finale de la Challenge Cup où son équipe affronte les Glasgow Warriors[10]. Pour cette rencontre, il est titulaire en deuxième ligne aux côtés d'Alainu’uese et son équipe l'emporte sur le score de 43 à 19[11],[12].
Le , l'USA Perpignan annonce son recrutement avec effet immédiat pour une durée minimale de trois ans[13].
