Loi logarithmique

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Logarithmique

Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$p\in \left]0,1\right[\!$ $q=1-p$
Support	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$
Fonction de masse	${\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$
Fonction de répartition	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln q}}\!$
Espérance	${\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {p}{q}}\!$
Mode	$1$
Variance	$-p\;{\frac {p+\ln q}{q^{2}\,\ln ^{2}q}}\!$
Fonction génératrice des moments	${\frac {\ln(q\,\exp(t))}{\ln q}}\!$
Fonction caractéristique	${\frac {\ln(q\,\exp(i\,t))}{\ln q}}\!$
Fonction génératrice des probabilités	${\frac {\ln(1-pt)}{\ln q}}$
modifier

En probabilité et en statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor de la fonction logarithme népérien. En anglais, cette loi est plutôt appelée logarithmic series distribution ou log-series distribution, pour éviter la confusion avec les lois dont les variables sont les logarithmes de variables suivant d'autres lois, comme la loi log-normale.

Définition

On part du développement en série entière suivant :

-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .

pour $0<p<1$ . On peut en déduire l'identité qui suit :

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p) :

f(k;p)=P(X=k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}

pour $k\geq 1$ , et où $0<p<1$ .

La fonction de répartition associée est

F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}

où $\mathrm {B}$ est la fonction bêta incomplète.

Relations avec d'autres lois de probabilité

Pour p proche de 0,5, la loi logarithmique tend vers la loi géométrique de paramètre p^[1].

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si $N$ est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que $X_{i}$ , $i$ = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

\sum _{n=1}^{N}X_{i}

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Applications

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références

↑ (en) Rajan Chattamvelli et Ramalingam Shanmugam, Discrete Distributions in Engineering and the Applied Sciences, Springer, Cham., coll. « Synthesis Lectures on Mathematics & Statistics » (DOI 10.1007/978-3-031-02425-2_9), « 9. Logarithmic Series Distribution »

(en) Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley-Interscience, p. 285-304 (ISBN 0471272469), « 7 »
(en) Eric W. Weisstein, « Log-Series Distribution », sur MathWorld

v · m

Lois de probabilité (liste)

Lois discrètes

à support fini

0 paramètre de forme	Dirac Rademacher
1 paramètre de forme	Benford Bernoulli uniforme discrète
2 paramètres de forme	binomiale Zipf
3 paramètres de forme	bêta-binomiale hypergéométrique
N paramètres de forme	multinomiale Poisson binomiale

à support infini

0 paramètre de forme	Gauss-Kuzmin
1 paramètre de forme	géométrique logarithmique Poisson Yule-Simon zêta
2 paramètres de forme	binomiale négative Conway-Maxwell-Poisson Skellam
3 paramètres de forme	bêta-binomiale négative binomiale négative étendue Delaporte

Lois absolument continues

à support compact

0 paramètre de forme	arc sinus cosinus surélevé demi-cercle parabolique uniforme continue Xenakis
1 paramètre de forme	Bates Irwin-Hall triangulaire Kesten-McKay
2 paramètres de forme	bêta Kumaraswamy logit-normale
3 paramètres de forme	bêta décentrée bêta rectangulaire bêta PERT

à support semi-infini

0 paramètre de forme	demi-logistique demi-normale exponentielle Lévy normale repliée Rayleigh
1 paramètre de forme	χ χ² Davis Erlang Fréchet Gamma Gompertz avec dérive inverse-χ² inverse-gamma inverse-gaussienne log-Cauchy log-Laplace log-logistique log-normale Nakagami normale généralisée v2 Pareto Rice Weibull
2 paramètres de forme	χ non centrée χ² non centrée Benktander I Benktander II bêta prime Burr Dagum Fisher Gamma généralisée inverse-gaussienne généralisée normale tronquée
3 paramètres de forme	bêta prime généralisée
N paramètres de forme	hyper-exponentielle hypo-exponentielle

à support infini

0 paramètre de forme	Cauchy Gumbel Holtsmark Landau Laplace logistique normale sécante hyperbolique Slash Voigt
1 paramètre de forme	Gompertz normale asymétrique normale généralisée v1 Student
2 paramètres de forme	géométrique stable stable z de Fisher

Autres types de lois

Lois à support mixte continu-discret

normale rectifiée

Lois à support variable

Tukey-lambda

Lois multidimensionnelles

Discrètes	Ewens (en) multinomiale
Continues	Dirichlet normale multidimensionnelle
Matricielles	Wishart Wishart inverse

Lois directionnelles

Univariantes	von Mises
Sphériques bidimensionnelles	Kent
Toroïdales bidimensionnelles	Von Mises bivariante
Multidimensionnelles	Bingham

Lois singulières

Cantor

Familles de lois

Portail des probabilités et de la statistique

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