Loi inverse-gaussienne
Densité de probabilité
Paramètres	${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \mu >0}$
Support	${\displaystyle x\in ]0,\infty [}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \Phi \left({\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right)}$ ${\displaystyle +\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left(-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right)}$ où ${\displaystyle \Phi \left(\right)}$ est la fonction de répartition de la loi normale
Espérance	${\displaystyle \mu }$
Mode	${\displaystyle \mu \left[\left(1+{\frac {9\mu ^{2}}{4\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {3\mu }{2\lambda }}\right]}$
Variance	${\displaystyle {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$
Asymétrie	${\displaystyle 3\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{1/2}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle {\frac {15\mu }{\lambda }}}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle e^{\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)\left[1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}t}{\lambda }}}}\right]}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle e^{\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)\left[1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}\mathrm {i} t}{\lambda }}}}\right]}}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne (ou loi gaussienne inverse ou encore loi de Wald) est une loi de probabilité continue à deux paramètres et à valeurs strictement positives. Elle est nommée d'après le statisticien Abraham Wald.

Le terme « inverse » ne doit pas être mal interprété, la loi est inverse dans le sens suivant : la valeur du mouvement brownien à un temps fixé est de loi normale, à l'inverse, le temps en lequel le mouvement brownien avec une dérive positive (drifté) atteint une valeur fixée est de loi inverse-gaussienne.

Sa densité de probabilité est donnée par

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{1/2}\exp {\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}&{\text{ pour }}x>0,\\0&{\text{ sinon}}.\end{cases}}}$

où μ > 0 est son espérance et λ > 0 est un paramètre de forme.

Lorsque λ tend vers l'infini, la loi inverse-gaussienne se comporte comme une loi normale, elle possède plusieurs propriétés similaires avec cette dernière.

La fonction génératrice des cumulants (logarithme de la fonction caractéristique) de la loi inverse-gaussienne est l'inverse de celle de la loi normale.

Pour indiquer qu'une variable aléatoire X est de loi inverse-gaussienne de paramètres ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \lambda }$, on utilise la notation ${\displaystyle X\sim IG(\mu ,\lambda ).\,\!}$

Si les variables aléatoires ${\displaystyle X_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ont pour loi ${\displaystyle IG(\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})}$ respectivement, et sont indépendantes, alors leur somme est de loi inverse-gaussienne :

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim IG\left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}$

Il est à remarquer que

${\displaystyle {\frac {{\textrm {Var}}(X_{i})}{{\textrm {E}}(X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}$

est constant pour tout i. C'est une condition nécessaire pour cette formule de sommation.

Si X est de loi inverse-gaussienne, alors pour tout t > 0, tX est de loi inverse-gaussienne dont les paramètres sont multipliés par t :

${\displaystyle X\sim IG(\mu ,\lambda )\quad \Longrightarrow \quad tX\sim IG(t\mu ,t\lambda ).}$

La loi inverse-gaussienne est une famille exponentielle à deux paramètres avec pour paramètres naturels ${\displaystyle {\frac {-\lambda }{2\mu ^{2}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {-\lambda }{2}}}$, et pour statistiques naturelles X et 1/X.

Le processus stochastique ${\displaystyle X=(X_{t},t\geq 0)}$ défini par

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=0\\X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle (W_{t},t\geq 0)}$ est le mouvement brownien standard et ν > 0, est un mouvement brownien drifté par ν.

Ainsi, le temps d'atteinte (ou premier temps de passage) de la valeur (ou niveau) α > 0 fixé par X est aléatoire et de loi inverse-gaussienne :

${\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim IG\left({\frac {\alpha }{\nu }},{\frac {\alpha ^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).\,}$

Un cas particulier usuel de l'explication précédente est le cas où le mouvement brownien n'a pas de drift. Dans ce cas, le paramètre μ tend vers l'infini, et le temps d'atteinte d'une valeur α < 0 fixée est une variable aléatoire de densité de probabilité celle de la distribution de Lévy avec paramètre ${\displaystyle c={\frac {\alpha ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ :

${\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2x\sigma ^{2}}}\right).}$

Considérons le modèle donné par

${\displaystyle X_{i}\sim IG(\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}$

où tous les w_i sont connus, ${\displaystyle (\mu ,\lambda )}$ sont inconnus et où les variables indépendantes X_i ont pour fonction de vraisemblance :

${\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}$

En résolvant l'équation de vraisemblance, on obtient les estimées suivantes :

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\hat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\hat {\mu }}}\right).}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ et ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ sont indépendants et

${\displaystyle {\hat {\mu }}\sim IG\left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)\,\,\,\,,\,\,\,\,{\frac {n}{\hat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}$

L'algorithme suivant peut être utilisé pour générer des valeurs de la loi inverse-gaussienne^[1].

Prendre ${\displaystyle N\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

et ${\displaystyle y=N^{2}}$

et ${\displaystyle X=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}}$.

Prendre ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {U}}(0,1).}$

Si ${\displaystyle Z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}$retourner ${\displaystyle x}$

Sinon retourner ${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}}$

La convolution de la loi inverse-gaussienne et de la loi exponentielle est utilisée comme modélisation du temps de réponse en psychologie^[2]. Elle est appelée loi ex-Wald.

Cette loi fut initialement utilisée par Erwin Schrödinger en 1915 comme temps d'atteinte du mouvement brownien^[3]. Le nom « inverse-gaussienne » (inverse Gaussian en anglais) fut proposé par Tweedie en 1945^[4]. Abraham Wald réutilise cette loi en 1947 comme la forme limite d'un échantillon dans un test. Tweedie détaille des propriétés statistiques de cette loi en 1957.

Le langage de programmation R possède cette loi^[5],[6].

• The inverse gaussian distribution: theory, methodology, and applications by Raj Chhikara and Leroy Folks, 1989 (ISBN 0-8247-7997-5)
• System Reliability Theory by Marvin Rausand and Arnljot Høyland
• The Inverse Gaussian Distribution by Dr. V. Seshadri, Oxford Univ Press, 1993

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Gaussian Distribution », sur MathWorld

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