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La loi de probabilité de Borel est une loi de probabilité discrète qui intervient notamment dans l'étude des processus de branchement et dans la théorie des files d'attente. Elle porte le nom du mathématicien français Émile Borel.

Définition

Une variable aléatoire discrète X suit la loi de probabilité de Borel^[1]^,^[2] de paramètre m ∈ [0,1] si sa fonction de masse est donnée par

f(k;m)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {e^{-mk}(mk)^{k-1}}{k!}}~~~\forall k=1,2,\dots

Lien avec les processus de Bienaymé-Galton-Watson

Si un processus de Bienaymé-Galton-Watson a une loi de reproduction Poisson avec moyenne m ∈ [0,1], alors le nombre total d'individus, après extinction, suit une loi de Borel de paramètre m.

Plus précisément, soit X le nombre total d'individus d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson de loi de reproduction non-dégénérée, critique ou sous-critique μ. Il existe une correspondance entre X et un certain temps d'arrêt d'une marche aléatoire^[3]^,^[4]^,^[5] qui donne la relation suivante

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{k}}\mathbb {P} (S_{k}=k-1)~~~\forall k=1,2,\dots

où S_n = Y₁ + … + Y_k et Y₁ … Y_k sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées dont la loi commune est μ. Dans le cas où μ suit une loi de Poisson de paramètre m ∈ [0,1], la variable aléatoire S_k suit une loi de Poisson de paramètre mk ce qui conduit bien à la fonction de masse d'une loi de Borel.

Puisque la n-ième génération d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson a une taille moyenne mⁿ ^-1, la moyenne de X est égale à

\sum _{i=0}^{\infty }m^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{1-m}}&{\text{ si }}m<1,\\+\infty &{\text{ si }}m=1.\end{array}}\right.

Interprétation de la théorie des files d'attente

Dans une file d'attente M / J / 1 avec un taux d'arrivée m et un temps de service commun 1, la distribution d'une période d'occupation typique de la file d'attente suit une loi de Borel de paramètre m^[6].

Propriétés

Si P_m désigne la loi de probabilité de Borel de paramètre 0<m<1, alors la loi biaisée par la taille associée est définie par

P_{m}^{*}(k)=(1-m)kP_{m}(k)=(1-m){\frac {e^{-mk}(mk)^{k-1}}{(k-1)!}}~~~\forall k=1,2,\dots

Aldous et Pitman^[7] montrent que

P_{m}(k)={\frac {1}{m}}\int _{0}^{m}P_{\lambda }^{*}(k)\,d\lambda .

En d'autres termes, cela signifie qu'une variable aléatoire suivant une loi de Borel(m) a la même distribution qu'une variable aléatoire suivant une loi de Borel(mU) biaisée par la taille, où U est uniformément distribuée sur [0,1].

Cette relation conduit à diverses formules utiles, notamment

\operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {m}{2}}.

Loi de Borel – Tanner

La loi Borel – Tanner généralise la loi Borel. Soit n un entier strictement positif. Si X₁ , X₂ , … X_n sont indépendants et suivent chacune une loi de Borel de paramètre m, alors leur somme W = X₁ + X₂ + … + X_n suit une loi de Borel – Tanner de paramètres m et n^[2]^,^[6]^,^[8]. Cela correspond au nombre total d'individus dans un processus de Bienaymé-Galton-Watson de loi de reproduction Poisson(m) commençant par n individus à la première génération. Cela correspond aussi au temps nécessaire à une file d'attente M / D / 1 pour se vider en commençant par n emplois dans la file d'attente. Le cas n = 1 correspond simplement à la loi de Borel définie ci-dessus.

On peut généraliser la correspondance discutée précédemment avec une marche aléatoire. Cela donne^[4]^,^[5]

\mathbb {P} (W=k)={\frac {n}{k}}\Pr(S_{k}=k-n)~~~\forall k=n,n+1,\dots

où S_k suit une loi de Poisson(km). Par conséquent, la fonction de masse de W est donnée par

f(k;m,n)=\mathbb {P} (W=k)={\frac {n}{k}}{\frac {e^{-mk}(mk)^{k-n}}{(k-n)!}}~~~\forall k=n,n+1,\dots

Références

↑ E Borel, « Sur l'emploi du théorème de Bernoulli pour faciliter le calcul d'une infinité de coefficients. Application au problème de l'attente à un guichet. », C. R. Acad. Sci., vol. 214,‎ 1942, p. 452–456
↑ ^{a et b} (en) J C Tanner, « A derivation of the Borel distribution », Biometrika, vol. 48, n^os 1–2,‎ 1961, p. 222–224 (DOI 10.1093/biomet/48.1-2.222, JSTOR 2333154)
↑ (en) R Otter, « The Multiplicative Process », The Annals of Mathematical Statistics, vol. 20, n^o 2,‎ 1949, p. 206–224 (DOI 10.1214/aoms/1177730031)
↑ ^{a et b} (en) M Dwass, « The Total Progeny in a Branching Process and a Related Random Walk », Journal of Applied Probability, vol. 6, n^o 3,‎ 1969, p. 682–686 (DOI 10.2307/3212112, JSTOR 3212112)
↑ ^{a et b} (en) J Pitman, « Enumerations Of Trees And Forests Related To Branching Processes And Random Walks », Microsurveys in Discrete Probability: DIMACS Workshop,‎ 1997 (lire en ligne)
↑ ^{a et b} (en) F A Haight et M A Breuer, « The Borel-Tanner distribution », Biometrika, vol. 47, n^os 1–2,‎ 1960, p. 143–150 (DOI 10.1093/biomet/47.1-2.143, JSTOR 2332966)
↑ (en) D Aldous et J Pitman, « Tree-valued Markov chains derived from Galton-Watson processes », Annales de l'Institut Henri Poincaré B, vol. 34, n^o 5,‎ 1998, p. 637 (DOI 10.1016/S0246-0203(98)80003-4, Bibcode 1998AIHPB..34..637A, lire en ligne)
↑ (en) J C Tanner, « A Problem of Interference Between Two Queues », Biometrika, vol. 40, n^os 1–2,‎ 1953, p. 58–69 (DOI 10.1093/biomet/40.1-2.58, JSTOR 2333097)