Kurt Morath commence sa carrière en Nouvelle-Zélande, avec le club amateur d'Inglewood, dans le championnat amateur de la région de Taranaki[7].
En 2006, il perce au niveau professionnel lorsqu'il est retenu dans l'effectif de la province de Taranaki pour disputer le National Provincial Championship (NPC)[8],[9]. Il joue deux saisons avec cette équipe, disputant un total de huit rencontres[1].
En 2008, il quitte Inglewood pour rejoindre le Stratford Rugby Football Club évoluant dans le même championnat régional[10],[11].
En 2012, il signe un contrat avec le club japonais des Kubota Spears, évoluant en Top League Est A (deuxième division régionale)[18],[19]. Au terme de sa première saison au club, son club est promu en Top League[20]. Il quitte le club en 2014, après deux saisons[21].
Après son départ du Japon, il retourne brièvement en Nouvelle-Zélande, et joue pour le club amateur du Waitemata dans le championnat d'Auckland, aux côtés de son frère Daniel[22].
Morath est recruté en tant que joker médical de Seremaia Burotu en par le Biarritz olympique[23]. Handicapé par plusieurs blessures successives, il n'est titularisé que six fois, et n'est pas conservé à l'issue de la saison[24].
En 2016, il dispute la première édition du PRO Rugby aux États-Unis, avec l'équipe des Breakers de San Diego[25]. Il devient rapidement un titulaire indiscutable de cette équipe, mais doit quitter le club à la fin de la saison, puisque le championnat disparait après seulement une année d'existence[26].
Plus tard la même année, il s'engage pour une durée de deux saisons avec le club anglais des Doncaster Knights, évoluant en Championship[29]. Il dispute treize rencontres avec cette équipe, et inscrit soixante-trois points[2]. Au bout d'une saison, il décide de quitter le club avant la fin de son contrat[30].
Dans la foulée de son départ de Doncaster, il retourne une nouvelle fois aux États-Unis, et signe un contrat d'une saison avec les Gilgronis d'Austin en MLR[31]. Arrivé au club en , il n'a le temps de disputer qu'une seule rencontre avant que la saison ne soit arrêtée à cause de la pandémie de Covid-19[32]. Malgré cela, il voit son contrat être prolongé pour une saison de plus[33]. Malgré une saison pleine (quatorze matchs), il n'est ensuite pas conservé pour la saison 2022[34]. Il continue néanmoins de jouer au rugby au niveau amateur dans le championnat texan[35].
En équipe nationale
Kurt Morath est sélectionné avec le groupe élargi de la sélection néo-zélandaises des moins de 19 ans en 2003, mais ne joue aucun match avec cette équipe[36].
Grâce à ses origines tongiennes, il est appelé pour la première fois avec l'équipe des Tonga en . Il joue son premier match face à l'équipe d'Irlande A le [37]. Il obtient sa première sélection officielle le contre le Portugal[4].
En 2019, il est sélectionné pour disputer sa troisième Coupe du monde au Japon[41]. Il ne dispute qu'un seul match, contre l'Angleterre, avant de se blesser gravement la gorge, mettant fin à sa participation au tournoi[42].