Quick joue à l'école de Hamden avant de rejoindre l'école d'Old Farms d'Avon. À Hamden, il est nommé dans l'équipe 2002 de l'aire de New Haven. Quick et les Old Farms se qualifient pour le championnat de la Nouvelle-Angleterre en 2004 et 2005. Il intègre ensuite l'Université du Massachusetts à Amherst dont l'équipe évolue dans la division Hockey East dans le championnat NCAA. Les Minutemen atteignent pour la première fois de leur histoire le tournoi final de la région en 2007. En demi-finale, Quick blanchit les Golden Knights de l'université Clarkson en stoppant 33 lancers pour un succès 1-0 en prolongation. En finale, ils s'inclinent 3-1 face aux Black Bears du Maine.
Les deux gardiens se partagent le poste de gardien des Monarchs en début de saison 2008-2009. Quick est rappelé par les Kings le lorsque Erik Ersberg se blesse à l'aine. Il s'offre son premier blanchissage dans la LNH le chez les Blue Jackets de Columbus, arrêtant 24 tirs.
Quick est choisi pour faire partie de l'équipe américaine qui participe aux Jeux olympiques d'hiver de Vancouver en . Il est le troisième gardien de la sélection après Ryan Miller et Tim Thomas et ne joue aucun match. Les Américains remportent la poule A devant le Canada[3]. Un doublé de Zach Parisé et un blanchissage de Ryan Miller permettent aux Américains d'éliminer la Suisse en quart de finale[4]. Ils éliminent la Finlande 6-1 en demi-finale[5]. Lors du match pour la médaille d'or, les États-Unis menés 2-0 sur des buts de Jonathan Toews et Corey Perry reviennent au score par Ryan Kesler et Zach Parisé. Sidney Crosby donne le titre aux Canadiens durant la prolongation[6]. Quick revient dans la LNH avec une médaille d'argent[7].
Quick enregistre son premier blanchissage en série éliminatoire de la Coupe Stanley le en stoppant 34 lancers lors d'une victoire 4-0 sur les Sharks de San José.
Du 18 au , il aligne trois blanchissages consécutifs, soit le record de la franchise. Le , il est nommé dans les finalistes du Trophée Vézina avec Henrik Lundqvist et Pekka Rinne. Quick mène la ligue avec dix blanchissages, soit le record de la franchise des Kings. Il possède la deuxième meilleure moyenne de buts alloués avec 1,95. Il est le premier gardien de l'histoire des Kings à remporter plus de trente victoires en trois saisons consécutives. Lors des séries éliminatoires 2012, les Kings éliminent les Canucks de Vancouver, vainqueurs de la saison régulière en cinq matchs suivis par la première victoire en quatre matchs secs de l'histoire de la franchise sur les Blues de Saint-Louis. En finale d'association, ils éliminent quatre victoires à une les Coyotes de Phoenix, troisième bilan de l'association. Les Kings et Quick enchainent une série de dix victoires consécutives à l'extérieur lorsqu'ils remportent les deux premières rencontres de la finale de la Coupe Stanley chez les Devils du New Jersey. Quick blanchit les Devils 4-0 lors du troisième match. La franchise du New Jersey maintient le suspense en remportant les deux matchs suivants. Le , les Kings remportent la Coupe Stanley à l'issue du sixième match de la série. Quick reçoit le trophée Conn-Smythe grâce, notamment, à de nombreux records établis lors de ces séries[8]. Il est finaliste du Trophée Vézina avec Henrik Lundqvist des Rangers de New York et Pekka Rinne des Predators de Nashville[9]. Lundqvist reçoit finalement cette récompense[10].
Le , il signe une prolongation de contrat de dix ans avec les Kings[11].
Golden Knights de Vegas
Le , Quick est échangé aux Blue Jackets de Columbus en compagnie d'un choix conditionnel de 1re ronde en 2023 ainsi qu'un choix de 3e ronde en 2024. En retour, les Kings reçoivent le défenseur Vladislav Gavrikov et le gardien Joonas Korpisalo. Le lendemain, Quick est à nouveau échangé, aux Golden Knights de Vegas contre le cerbère Michael Hutchinson et un choix de 7e ronde en 2025. Dans cette transaction, les Blue Jackets retiennent 50% du salaire de Quick[12].
