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Rosiériste et pépiniériste de profession, il entre au conseil municipal de Doué-la-Fontaine lors des élections municipales de 1959 et en devient le maire après le scrutin de 1965.
Largement reconduit dans ses fonctions en 1981, il se représente en 1986 et figure en cinquième position sur la « liste d'Union de l'opposition pour le Maine-et-Loire » conduite par Jean Foyer (RPR), l'élection se déroulant pour la première et unique fois au scrutin proportionnel par liste départementale. La liste RPR-UDF remporte 55,72 % des voix et 5 des 7 sièges à pourvoir. Il obtient alors un quatrième mandat consécutif.
Avec le retour du scrutin majoritaire par circonscription en 1988, il est de nouveau candidat dans la 4e circonscription et remporte une nouvelle fois le scrutin dès le premier tour. En 1993, il arrive largement en tête du premier tour et devance le candidat RPR Jean-Pierre Pohu. Ce dernier se retire de la course et Jean Bégault est le seul à se présenter aux suffrages des électeurs lors du second tour : il décroche ainsi un sixième mandat et son meilleur score pour une élection législative avec 100 % des suffrages.
Réélu premier édile de Doué-la-Fontaine en 1971, 1977, 1983 et 1989, il annonce se retirer de ses fonctions de maire en janvier 1995. Soutenant la liste conduite par son dauphin désigné et son ancien adjoint, François Alaux, il voit cependant la défaite de celle-ci au second tour à l'issue d'une triangulaire remportée par Jean-Pierre Pohu.
Deux ans plus tard, il quitte aussi son mandat de député et adoube Louis Robineau, son suppléant depuis 1973, comme successeur. Talonnant de très près le candidat RPR et devançant de quatre points celui des Verts au premier tour, il ne parvient cependant pas à se faire élire au second, battu par Jean-Michel Marchand, maire écologiste de Saumur.
Au cours de sa carrière professionnelle, il est par ailleurs président national de la Fédération des rosiéristes et vice-président de la Chambre d'agriculture de Maine-et-Loire.
Le , Jean Bégault trouve la mort dans un accident de voiture à Doué-la-Fontaine, la commune dont il a été le maire durant trois décennies.
